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CAPITOLO IV. 
Il teorema di esistenza per un contorno chiuso 
contenuto nel semipiano ellittico. 
$ 1. — In fine del Cap. II si osservò come il teorema di unicità valga in 
particolare quando siano assegnati i valori di z su di un contorno chiuso 0, tutto 
compreso nel semipiaho ellittico, e cioè tale che i suoi punti appartengano tutti al 
semipiano in discorso, asse x escluso. Ci proponiamo ora di invertire anzitutto questa 
proposizione dimostrando come, data sopra o una qualsiasi successione continua f 
di valori, esista sempre, nell'interno del campo, una soluzione regolare della (B) 
assumente al contorno quer valori dati. Quest'intento raggiungeremo molto agevol- 
mente con un metodo che sostanzialmente è quello ormai classico di Picard (*), con 
l’ausilio del quale la determinazione della soluzione, di cui occorre provare l’esistenza, 
viene ricondotta alla risoluzione di un'equazione integrale di Fredholm, 2* specie, 
a due variabili indipendenti. 
Consideriamo infatti la ridotta ellittica 
1 da 
(E) Tepti 3g? "a Sua =0 
della (E), indichiamo con o” la curva in cui Ja trasformazione che dà luogo alla (E,) 
muta 0, e operiamo ulteriormente la sostituzione 
con la quale la (E,) diviene 
1 LE Seo 
0) CER IE O 
Ciò posto, fissato nell’interno di o’ un punto qualsiasi Po(zo; Yo) e indicata 
con 7 la distanza di un punto variabile P(2,y) da Pi, consideriamo, nel campo S' 
interno a o’, la funzione armonica, ben determinata, 9(40,%0|%,y) assumente al con- 
torno i valori lg 1/r (/unzione di Green); in virtù del teorema di Green. potremo 
scrivere 
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2717 u(Lo Yo) DI | tele -0)- (ig7-g i | -SK(le7—0) 4,0 dS 
1) Cfr. la Mem. cit. nell’Introdnzione. 
