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dove 12 denota la direzione della normale a o° rivolta verso l'interno. Ma, per la 
definizione stessa di 9g, sul contorno o" è lg 1/nr—g =0; dunque avremo più sem- 
plicemente 
l CIR ARNO A 1 
(2) uz ft (eo) of (107 0) ca. 
1 
avendo indicato brevemente con /, i valori y°/ che w assume su 0”. 
Osserviamo, ora, che il primo termine del 2° membro della (2) è quello cui si 
ridurrebbe u(20,70) se fosse 42u=0; esso esprime dunque il valore in P, della 
funzione armonica, ben determinata, assumente sul contorno o’ gli stessi valori /, che 
vi assume %; pertanto, indicata con A(x,y) questa funzione e sostituito a 4% 
il suo valore 
tratto dalla (1), la (2) potrà scriversi finalmente 
5 (OI 
(3) U(Lo Yo) — T9n | La G(20:Y0|4,9) u(c,4) de dy = A(x0,Yo) 
dove si è posto per brevità 
(4) G(w0,40|2,y)=1g 1/2 — g(c0,40| 0.9). 
La (3) è un'equazione integrale di Fredholm, 2 specie, a due variabili indi- 
pendenti, in cui l’incognita è la funzione w di cui occorre provare l’esistenza. 
Essendosi supposto che il contorno o non avesse alcun punto in comune con l’asse x, 
neanche o' ne avrà, epperò il fattore 1/y?, che compare nel nucleo della (3), sarà 
| sempre finito; ne segue che il nucleo in discorso non ha altre singolarità se non quelle 
proprie alla funzione G, le quali, come ha osservato E. E. Levi (*), non infirmano 
l'applicabilità all’equazione della teoria ordinaria di Fredholm, e pertanto l'equazione 
sarà certamente ,risolubile tutte le volte che 5/72 non sia un parametro del 
nucleo. 
Indaghiamo se la quantità 5/72 possa eventualmente essere un parametro 
del nucleo della (3): Ove ciò avvenisse, la corrispondente equazione omogenea, cioè 
quella ottenuta facendo A =0 nella (3), avrebbe delle soluzioni non identicamente 
nulle; ma il caso di A=0 corrisponde a quello in cui i valori deposti su o siano 
tutti nulli; dunque esisterebbero delle soluzioni non identicamente nulle della (E) 
annullantesi in ogni punto di o, il che è in contradizione col teorema di unicità. 
Si conclude che 5/72 77 non può essere un parametro, epperò la soluzione « esiste, 
ed esiste quindi anche #. 
(1) E. E. Levi, / problemi dei valori al contorno per le equazioni lineari totalmente ellit- 
tiche alle derivate parziali [Mem. Soc. Ital. d, Scienze (detta dei XL), (3), 16, (1909)], $ 1, nota 8°, 
