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Si osservi che la condizione che i valori / dati sul contorno costituiscano una 
funzione continua, è sufficiente ma non necessaria. Infatti, se detti valori costituis- 
sero una funzione soltanto generalmente continua, cioè dotata di un numero finito 
di punti di discontinuità, attraversando i quali / passi bruscamente da un certo 
valore finito ad un altro valore del pari finito, la funzione A esisterebbe ugualmente 
‘e, nell'interno del campo, non cèsserebbe di essere continua (*). Quest’osservazione 
sarà utile nel seguito £ 
Invece è una condizione imprescindibile quella che il contorno o non abbia 
alcun punto comune con l’asse x. Invero, se questa condizione non sì verifica, ; sì 
annullerà in qualche punto del campo S' e, in conseguenza, il nucleo della (3) pre- 
senterà dei poli di 2° ordine, di guisa che più non potremo applicare all’equazione 
l'ordinaria teoria di Fredholm; anzi non è nemmeno evidente a prior che l’equa- 
zione stessa resti valida in queste condizioni. Ora a noi nel seguito ci occorrerà 
proprio di dover considerare dei contorni costituiti in parte da un segmento dell’asse 2, 
ed è pertanto indispensabile estendere a questi il precedente teorema esistenziale. 
A prima giunta sembrerebbe che la cosa potesse facilmente ottenersi con un passaggio 
al limite; non si tarda però molto a riconoscere che la legittimazione rigorosa di 
tale passaggio presenta delle serie difficoltà. Noi perciò seguiremo una via diversa, 
e all’ uopo, avvalendoci del metodo di Green, cominceremo col porre sotto una forma 
più semplice le soluzioni la cui esistenza è stata dimostrata nel presente paragrafo. 
S 2. — Per applicare il metodo di Green (*) all’equazione a derivate par- 
ziali (E), 0, meglio, alla sua ridotta ellittica (E,), occorre anzitutto determinare 
le soluzioni fondamentali dell'aggiunta 
do | ded 
v TINA E = 
(5) da ù dY (È) 
di questa, cioè quelle certe soluzioni particolari di quest'equazione dotate di una 
singolarità logaritmica in un punto dato Po(%03%o)- 
1 
All’uopo osserviamo preliminarmente che la (5), ponendo «= y? v, si ricon- 
duce subito alla (E,); potremo quindi limitarci a considerare quest’ultima equazione, 
chè, determinate che siano le soluzioni fondamentali di essa, basterà moltiplicarle 
1 
per y° per avere quelle della. (5). 
(iò premesso, consideriamo accanto alla ridotta ellittica (E), scritta in coordi- 
nate 2,y: 
Rione) da 
(Mi) dr? iù DPI gp 
la ridotta iperbolica, scritta in coordinate È,7: 
d° 4 1/6. (dz 2) 
—_ (--}|=0, 
(Ha) x) (G > 
(1) Picard, Zraité d'Analyse (2* ed.), t. IT, pag. 46 e seg. 
(2) Cfr. p. es. Hadamard, op. cit., $$ 344 e 345, pag. 330 e seg. 
