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Ottenuta la (18) si passa al limite facendo tendere a zero il raggio di s. Senza 
che ci indugiamo nei particolari, è facile vedere, nello stesso modo che nel caso 
delle funzioni armoniche, che, tenuto conto che il coefficiente di lg 7 nella (15) si 
riduce ad 1 allorchè P coincide con Py, il limite dell’integrale esteso ad s è 
— 271 8(%0 Yo) 5 
sussiste dunque la formula fondamentale (di Green) 
I Ad du* 1 dy 
2 7 = == ie Aa) 
(19) a(L0 Yo) dr J. (è da ‘dn il 37 “da 
) do 
che fornisce il valore di z in un punto qualsiasi interno a o mediante i valori di < 
e ds/da al contorno. 
Avvalendoci del teorema di esistenza dimostrato nel $ 1, possiamo ora sempli- 
ficare ulteriormente questa formula facendo sparire da essa la derivata normale di 2. 
Infatti, in virtù del teorema ora ricordato, esisterà una (ed una sola) soluzione 
regolare della (5) assumente sul contorno i valori —x*: chiamiamola «. Ponendo 
allora 
(20) U(cosyol®,9) =*+%, 
potremo sostituire, nei calcoli che precedono, U al posto di «*; regge quindi la 
formula 
de de dI I da) 
AN Uz n do . 
Ma, per la sua stessa definizione, U è nulla su tutta la curva 0; dunque avremo 
in definitiva 
(21) s(Lo Yo) = 
LU 
n 2rldiaù 
formula semplicissima che, una volta che si sia determinata la funzione U, la quale 
non dipende se non dalla forma del contorno, permette di calcolare con la massima 
rapidità i valori di z entro o, dati che siano quelli al contorno. 
Naturalmente, per applicare la (21) all'equazione (E), bisogna passare pel tra- 
mite della ridotta ellittica (E,). Volendo evitare ciò, occorre trasformare la fun- 
zione U e l'integrale curvilineo, tenendo conto delle (25) del Cap. I e badando 
che la derivata normale non si muta in una derivata normale. A noi non occorre 
però entrare nei particolari di questi calcoli e ci basta osservare che, a conti fatti, 
sì arriva ad una formula del tipo 
(22) 80 Yo) = [, V(co ; Yo 
L,Y)8do', 
dove o’ è la curva corrispondente a o, e V(x0,Y0|2,7) una certa funzione dipen- 
dente soltanto dalla forma di o”. 
$ 4. — Una conseguenza immediata ma importante della validità del teorema 
di unicità allorchè sono dati i valori di z su di una curva chiusa qualsiasi del semi. 
CLASSE DI SCIENZE FISICHE — MemorIE — Vol. XIV, Ser. 52. 25 
