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piano ellittico (avente o no punti in comune con l’asse x), è l'impossibilità che una 
soluzione regolare qualsiasi dell'equazione (E) abbia un massimo od un minimo in 
un punto del semipiano in discorso; fatto questo, che può anche enunciarsi, e con 
linguaggio più preciso, nel seguente modo: 
I valori che una soluzione regolare qualsiasi dell'equazione (E) raggiunge 
nell'interno di una curva chiusa del semipiano ellittico, avente 0 no punti in co- 
mune con l'asse x, non superano (non sono inferiori) al massimo (al minimo) 
valore che essa raggiunge sulla curva (*). 
Questa proposizione, unitamente alla formula di Green, ci permette di esten- 
dere facilmente alle soluzioni regolari dell'equazione (E) il teorema di Harnack sulle 
funzioni armoniche (*); dico cioè che, 
Se una serie di soluzioni regolari dell'equazione (E) converge uniforme- 
mente su di una curva chiusa o del semipiano ellittico, avente 0 no punti comuni 
con l'asse a, essa convergerà uniformemente anche nell'interno di o e rappresen- 
terà ivi una soluzione della (E). 
Infatti, sia data la serie di soluzioni della (E) 
<) + 2° + 600 -- ante 
e siano rispettivamente Z, , Zs ,... le funzioni cui si riducono 7, ; 43, ... sul contorno o. 
Essendo la serie 2, Z, uniformemente convergente, dato ad arbitrio un numero posi- 
tivo e, potrà determinarsi un indice N tale che, per # > N, qualunque sia p e su 
tutto il contorno, si abbia 
IZENS sla Zn+s + a + Az < CA) 
ma ner + Sa+e + + 41+p è manifestamente una soluzione della (E), epperò, pel 
teorema precedente, il massimo di |<n+1 4 4n+: + + + 4n+p| entro 0 sarà inferiore 
(1) Questa proposizione è vera, non soltanto per la (E), ma anche per ogni altra equazione 
di 2* ordine per cui valga il precedente teorema di unicità, purchè tale che una costante qual- 
siasi la soddisfi, di guisa che dal teorema in parola possa dedursi che, se una sua soluzione è co- 
stantemente uguale a © su di una curva chiusa o, essa deve essere sempre uguale a C anche in 
tutta l’area interna a 0. 
Infatti, se, nelle ipotesi precedenti, una soluzione regolare /(2y) ‘dell'equazione che si con- 
sidera è massima (o minima) in un punto P(20%0). vale a dire se f assume in P un valore mag- 
giore (minore) di tutti quelli assunti in un intorno convenientemente piccolo di P; segando la su- 
perficie <= /(2y) col piano 2z= (vo, yo) — [col piano 2= (20,0) + 8], dove e denota un 
numero positivo convenientemente piccolo, e proiettando l’intersezione sul piano ©y, si otterrà una 
curva chiusa o, comprendente P nel suo interno, in ogni punto della quale si ha costantemente 
Seguirebbe da ciò, che anche in P dovrebbe essere - 
a=/(%0Y0) # 8; 
invece di z = /(0Yo) come si era supposto; e se ne conclude che non è possibile che / abbia un 
massimo o un minimo nel punto P. 
(?) Harnack, Die Grundlagen der Theorie des logarithmischen Potentiales (Lipsia, Teubner, 
1887), pag. 67. 
