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al massimo di |Z,,., | Z,x° + + Zn+p| Sul contorno; dunque, a più forte ragione, 
sarà 
zn+1 + En+2 + DI + Bep|T È 
in tutta l’area S interna a o, il che mostra che la serie data converge uniformemente 
in questo campo. 
Facciamo ora vedere che la somma della serie rappresenta essa pure una solu- 
zione della (E). 
All’uopo, immaginiamo tracciata entro S° una curva chiusa qualsiasi 0”, compren- 
dente nel suo interno il punto P(x$.yo) nel cui intorno vogliamo provare che 
la serie soddisfa alla (E), e non avente alcun punto in comune con l’asse «. 
Detti rispettivamente Zi, Zj,... i valori di 2,, #2, ... sopra o”, i valori e, e0,... 
di queste funzioni in P, potranno rappresentarsi, in virtù della (22), con le formule 
(23) Si = (vai do' , z°= (va do... 30 = (vz, Ud 3% 
/0 0 /G 
dove V denota una funzione dipendente solo dalla forma di o”. 
Ciò posto, indichiamo con Z' la somma della serie uniformemente convergente 
3, e con R/7, il resto 2-esimo di questa serie: 
{0 .°) 
RA MOSZAE 
h=n+1 
supponendo che » sia già tanto grande da aversi, su tutta 0°, 
; & 
[Bal < 7 
dove M è un valor maggiorante di |V| sopra 0”, ed / è la lunghezza di questa 
curva. Segue da ciò che, se consideriamo l'integrale 
102 (vado, 
o 
potremo porre 
0% 
SVI] 
0_Y | Vz,do 
T=1204 
al | f/vRI do 
cioè, tenendo conto delle (23), 
[20 — (e 4 30 +. + e0)|<e.. 
Ma ciò mostra che la somma della serie data, nel punto P,, è l'integrale 3‘, cioè 
coincide col valore in P, della soluzione della (E) assumente i valori 7’ sopra o’; 
dunque è vero che questa somma rappresenta una soluzione dell’equazione (E). 
$ 5. — Passiamo ora all'estensinne del teorema esistenziale dimostrato nel $ 1, 
al caso in cui una parte del contorno sia costituita da un segmento dell’asse «, 
