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Precisamente, in un primo tempo, noi dimostreremo l’esistenza della soluzione 
nel caso di uno speciale contorno di questa specie e poscia, avvalendoci di un me- 
todo alternato, generalizzeremo il risultato precedentemente ottenuto. 
Lo speciale contorno, cui quì sì allude, è quello costituito dal segmento A(0,0) 
B(1.0) dell'asse 4 e dalla curva normale ©, di equazione @= 1/2, che passa pei 
punti A e B. Tale contorno, per brevità di discorso, lo designeremo costantemente 
col nome di contorno ellittico normale; la: proposizione che vogliamo dimostrare 
per prima potrà allora enunciarsi nel modo seguente: 
Nell’interno di un dato contorno ellittico normale ABe, esiste una (ed una 
sola) soluzione regolare dell'equazione (E), assumente valori arbitrariamente pre- 
fissati sul contorno; purchè le funzioni costituite da questi valori siano finite 
e continue, e, per di più, quella definita sulla curva normale «, sia dotata di 
derivata prima (rispetto all'arco) finita e continua nell'intorno dei punti A e B. 
Per dimostrare il teorema, cominciamo con l’osservare che non è restrittivo sup- 
porre che i valori deposti nei due punti A e B siano entrambi nulli. E invero, se 
questa condizione non è verificata e si indicano rispettivamente con a e d i valori 
deposti in A e B, basterà considerare la funzione 
(24) ae=a+(0—-a)@, 
che evidentemente soddisfa alla (E), e sostituire # —z, in luogo di 2, per ottenere 
subito che, sia in A, sia in B, si trovi prefissato per < il valore zero. 
Segue da quest'osservazione che, se sì indicano rispettivamente con (x) ed f(x) 
le funzioni costituite dai valori assegnati sul segmento AB e sulla curva normale e, 
potrà supporsi, in primo luogo, che si abbia 
(25) 0) 
e, in secondo luogo, che la funzione /(x) possa rappresentarsi con una formula del 
tipo 
(26) f(a)=yf(2), 
dove /(x) denota una funzione sempre finita e continua. 
Infatti, annullandosi f(x) sia per «= 0, sia per «=1, avremo, tanto per 
x-2>0, quanto per x>1: 
i) ao di 
lim 7 uil TE A i 
dove dovrà prendersi il segno + o il segno — secondo che si tratti di limite 
per c>0 0 per x +1 e secondo il modo come è stato fissato il verso positivo 
degli archi sopra c. Ma, per ipotesi, dl è finita nell’intorno di A e di B; dunque 
i limiti del rapporto /(x)/y per € >0 ed x +1 sono entrambi finiti, e ne segue 
la (26). 
