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$ 6. — La soluzione 4, di cui è d'uopo dimostrare l'esistenza, deve ridursi 
rispettivamente a (x) sul segmento AB dell’asse 4 e ad /(z) sulla curva nor- 
male e. Cerchiamo di soddisfare separatamente a queste due condizioni, cominciando 
dalla prima; facciamo vedere cioè che è sempre possibile costruire una soluzione 
regolare dell'equazione (EB) riducentesi a v(x) sul segmento AB dell’asse x. 
Infatti, essendo #(z) una funzione finita e continua, definita fra 0 ed 1 e sod- 
disfacente inoltre alle condizioni (25); essa, sempre che non abbia infiniti massimi 
e minimi, potrà rappresentarsi, ser4a eccezioni di sorta, mediante una serie di Fourier 
di soli seni del tipo 
(27) da) © fon vu, 
dove i coefficienti sono dati dalle note formule 
1 
(28) Ung =? f 76) sen 278 dE, (@=1Boo) 
0) 
Ciò posto, con questi stessi coefficienti costruiamoci la serie 
Q 2 
3 
ol È 
T— >. sen na À(n3 73 Y), 
x pa (257° y) 
(29) 
del tipo della (17) del Cap. III, dove 2% denota la stessa funzione indicata con 
questa lettera nel Cap. III. 
Essendo la serie (27) convergente, i coefficienti 4, costituiranno un insieme 
limitato, epperò la serie (29) convergerà assolutamente ed muniformemente in ogni 
campo compreso nel semipiano ellittico; pertanto, mediante essa, resta definita in 
questo semipiano una certa funzione é(2,y), finita e continua al pari delle sue deri- 
vate prime, la quale, pel teorema di Harnack, soddisferà manifestamente all'equa- 
zione (E), al pari dei singoli suoi termini. Inoltre, per y=0, si ha eviden- 
temente 
<(2,0) = An Sen NITX = t(x) ì 
n=1 
ecco dunque trovata la richiesta soluzione regolare della nostra equazione riducen- 
tesi a (x) sul segmento AB dell’asse @. 
Notiamo che, a differenza di quel che succede nei punti del semipiano ellittico 
a distanza finita dall’asse 7, su quest'ass», in generale, le derivate parziali della 
funzione é(x,Y) possono divenire infinite. 
Per 23î/dx la cosa è evid»nte perchè essa, per y= 0, coincide con la derivata 
t'(x) della funzione 7(4) (supposto che esista) sulla quale non abbiamo fatta alcuna 
ipotesi. 
