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S 7. — Essendosi visto, nel precedente paragrafo, come sia sempre possibile 
trovare una soluzione regolare & della (E) assumente valori #(<) arbitrariamente 
prefissati (sotto le condizioni indicate) sul segmento AB dell'asse x, è chiaro che 
il teorema enunciato nel $ 5 resterà completamente dimostrato se ora riusciremo 
a far vedere che parimenti è sempre possibile costruire una soluzione regolare t* 
dell'equazione (E), annullanlesi sull'usse x, e assumente valori f(x) arbitraria- 
mente prefissati sulla curva normale e. 
All’uopo cominciamo col porre 
(33) Xx=1-2x . /(e)=y[*). 
cioè chiamiamo /* la funzione / che figura nella (26) allorchè la riguardiamo dipen 
dente da X invece che da x; e poscia, supposto che siano verificate le relative con- 
dizioni, sviluppiamo la funzione finita e continua /*(X), che è definita fra —1 
5 
e -—1, in serie di funzioni sferiche generalizzate CÈ ; avremo così 
(84) pa=Y 0%), C12X<+1), 
dove, in virtù della (36) del Cap. III, i coefficienti sono dati dalle formule 
3 [*(5/6) Tm+ 5/6)-n! + sg 
eci) lE POCOA1=8 4, @=0,1,.) 
Ciò posto, analogamente a quanto si è fatto nel paragrafo precedente, con questi 
stessi coefficienti e le soluzioni 29 dell'equazione (E) [Capitolo III, formula (30)], 
costruiamoci la serie 
(36) e, =yY bi(20)" oo (£ 0): (e- RN /(e- ali +50 (e-i)+ie). 
che si annulla sull'asse x; mentre, sulla curva e, si riduce a 
0 5 
yD bn (X), 
n=0 
cioè ad f(x). 
La serie $*, evidentemente, converge uniformemente sull'asse x sul quale tutti 
i suoi termini si annullano; dico inoltre che essa è uniformemente convergente anche 
su tutte le curve normali g = cost contenute nel contorno ellittico normale. 
Infatti, se 0= 7/2 (r<1) è l’equazione di una curva siffatta e’, Ja serie (36) 
su di questa si presenta sotto la forma 
(ee) 
5 oa. 
(37) yS byr® 0° (- 2) i 
n=0 r 
epperò il valore assoluto del suo termine generale non supera 
|bn | e*C5(1), 
