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mente di chi legge, indicando i motivi per cui, nella precedente dimostrazione, per 
costruire la soluzione é di cui si discorre nel $ 6, non ci siamo avvalsi, analoga- 
mente a quello che poi si è fatto per $*, delle soluzioni particolari <% della (E) 
[Cap. III, form. (30)]; con che si sarebbe evitato l’integvento di quelle soluzioni 
particolari scisse nel prodotto di una funzione della sola # per una della sola y, 
il cui studio ha richiesto una non brevissima digressione sull’ integrazione dell’equa- 
zione differenziale y" — 2y=0. 
La principale ragione di ciò sta nel fatto che, come mostra la prima delle (31) 
del Cap. III, una serie di soluzioni # si riduce sull’asse z ad una serie di potenze, 
e una funzione di cui, come di (x), si sappia solo che è finita e continua, chi lo sa 
se è sviluppabile in serie di potenze. 
Ciò non toglie però che, avvalendosi del teorema di Weierstrass sulla rappre- 
sentazione approssimata delle funzioni continue mediante polinomî, non si possa dimo- 
strare il teorema del $ 5 facendo uso delle sole soluzioni particolari 4 e s@. 
Soltanto che, con questo metodo, si ottiene la soluzione sotto una forma più compli- 
cata e si approfondisce la questione meno bene anzichè col metodo da noi seguito. 
Indichiamo rapidamente come si conduca la dimostrazione in quest'altra maniera: 
Si comincia col far vedere che, detto e, il termine generale di una qualsiasi 
serie convergente a termini positivi, sommando un certo numero finito di soluzioni 
39 e 3 moltiplicate per opportuni coefficienti, è possibile costruire una soluzione gn 
della (E) che, sia sull’asse #, sia sulla curva normale ce, assume valori che si 
discostano per meno di 4 e, da quelli colà prefissati. 
Ciò posto, si considera la serie 
8="8} + (Zo—- #1) A (383 — 82) L TA 
e si osserva che essa converge uniformemente sul contorno, ammettendo come mag- 
giorante la serie convergente 2, e,. Ne segue che la sarie 4 converge uniformemente 
anche nell'interno del contorno ellittico normale e rappresenta una soluzione della (E), 
che, come si verifica subito, soddisfa alle assegnate condizioni al contorno. 
Questo secondo metodo, come si vede, fornisce la soluzione sotto una forma 
molto più complicata del precedente. Presenta però su quello il vantaggio che, non 
dovendosi ricorrere a degli sviluppi in serie delle funzioni costituite dai valori deposti 
sul contorno, bensì alla rappresentazione approssimata di queste mediante polinomî, 
basta supporre soltanto che le funzioni in discorso siano finite e continue. 
Pertanto, per la validità del teorema esistenziale dimostrato nei precedenti para- 
grafi, è sufficiente supporre verificata quest'ultima condizione. 
S$S 10. — Vediamo ora di generalizzare il teorema esistenziale del $ 5, avva- 
lendoci di un procedimento alternato. 
Com'è noto (*), il metodo alternato di Schwarz per la risoluzione del problema 
di Dirichlet, cioè per la dimostrazione dell’esistenza di una funzione armonica assu- 
(*) Ved. p. es. Picard, 7raité d'Analyse, t. IL. pag. SI e seg. 
