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mente valori assegnati su di un contorno chiuso dato, conduce alla seguente propo- 
sizione finale: 
Siano dati due contorni chiusi limitanti due aree aventi una parte in comune. 
Chiamiamo a lu parte del primo contorno esterna al secondo ed @ la parte in- 
terna. Similmente D e B indicheranno rispettivamente le parti del secondo contorno 
esterna ed interna al primo. Supposto che si sappia risolvere il problema di 
Dirichlet pei due contorni (a ,@) e (6,8), esso saprà risolversi anche pel con- 
torno (a, Db). i 
La dimostrazione di questo teorema riposa esclusivamente sui tre principî 
seguenti : 
1°) Il massimo (minimo) valore che una funzione armonica raggiunge nell’in- 
terno di un contorno chiuso, non supera (non è inferiore a) quello che essa raggiunge 
sul contorno. 
2°) Il teorema di Harnack. 
3°) Se una funzione armonica assume, su di wn contorno chiuso o valori 
sempre finiti ma tali che la funzione /(0) da essi costituita sia soltanto gereral- 
mente continua (*), il suo limite avvicinandosi ad un punto di discontinuità o = 0, 
della funzione 7, dalla parte interna a o e con un cammino non tangente a questa 
curva, è una quantità compresa fra f(o0 —) ed /(004). 
Ora, come si è visto nei paragrafi precedenti, il primo ed il secondo di questi 
tre principî, nel semipiano ellittico, valgono immutati anche per le soluzioni della 
equazione (E): quindi, se riusciremo a far vedere che anche il terzo principio non cessa 
di esser valido per queste, potremo senz’altro applicare il teorema precedente anche 
nel nostro caso. 
A tal uopo, riferendoci per semplicità alla ridotta ellittica (E,), cominceremo 
col far vedere come una qualsiasi soluzione regolare di quest’'equazione, nell’interno 
di o, sia sempre compresa fra due certe funzioni poco diverse da due funzioni 
armoniche. 
Infatti, consideriamo la trasformata della (E,) 
du 
dee 
d°u 0) 
ul DIA T 56 CE 
(44) 7 
1 
che, come si è visto nel $ 1, si ottiene da quella ponendo semplicemente 4=y °%, 
e, accanto ad essa, consideriamo pure l'altra equazione 
div d°v ORC 
45 = 
2 da? Tr dY? il 36 7? O; 
dove C è una costante qualsiasi; e siano rispettivamente v e v due soluzioni rego- 
lari qualsiasi di queste due equazioni, che assumano gli stessi valori sulla curva o. 
Allora, dette x, e yo le coordinate di un punto qualsiasi P, dell'area S interna a 0, 
(1) Cioè sia dotata di un numero finito di punti di discontinuità, attraversando i quali essa 
salti bruscamente da un certo valore finito ad un altro valore pure finito. 
