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e detta A(2,y) la funzione armonica assumente su o gli stessi valori che vi assu- 
mono % e ©, in virtù della (3) potremo porre 
\ U(X0340) = ta Ska op Renn Y) zl y) dx dy 
(46) | 
Î D(%03Y0) = A(t01Yo) + E SA în G(20,%0|2,9) 0 de dy, 
da cui, sottraendo membro a membro, si trae 
CD. CEerg= dI: Yo) — u(c,y)]} de dy. 
DA. (6 S DE ALI (L0,%0 
Ciò posto, dimostriamo che la funzione G è sempre positiva nel campo S. 
Infatti, ricordiamo che questa funzione è definita dalla formula 
G(r0.y0|e,y)=1g 1/n— g(c0,40|0,9), (Ela —-2+(y—%)), 
dove 9g è la funzione armonica assumente su o i valori 1g 1/7; ciò che mostra che 
G è sempre armonica nel campo S, tranne nell'intorno del punto Py(20,%0) dove 
diviene infinita positivamente. Potremo dunque certamente determinare un cerchietto 7, 
di centro P, e tutto contenuto in S, tale che, dentro di esso e sul suo contorno, 
G sia sempre positiva. Resta da vedere quale può essere il segno di G nell'area S' 
compresa fra T e o. Ma, in quest'area, G è armonica, e, sul suo duplice contorno, in 
parte (su 7°) riceve valori positivi e in parte (su o) valori nulli: dunque, anche 
in S' G deve necessariamente essere sempre positiva. 
Disponiamo ora dell’arbitrarietà della costante C che figura nella (45), suppo- 
nendo una volta che essa coincida col limite inferiore / e un’altra volta col limite 
superiore L dei valori di x sopra o, e diciamo rispettivamedte v, e v, le funzioni v 
corrispondenti. Nel primo di questi due casi avremo evidentemente C—% = 0 su 
tutta la curva o, e quindi pure in tutta l’area S, mentre nel secondo avremo in- 
vece ( —x=0. Ma s'è visto più sopra che G è positiva, dunque l'integrale doppio 
che figura nella (47) è certamente non negativo nel primo caso e non positivo nel 
secondo, di guisa che, in tutta l’area S, si avrà 
(48) D SUV. 
Finalmente osserviamo che l'equazione (45), a differenza della (44), non diffe- 
risce sostanzialmente dall'equazione di Laplace. Infatti, basta porre 
(49) o=0+ È 01g9 
per ottenere che la (45) si muti nell'equazione 4;3w= 0. 
l 
Arriviamo così, tenendo conto della (49) e della relazione s=y °% che lega 
le soluzioni delle equazioni (E,) e (44), al seguente zeorema di confronto: 
Se si indicano con f i valori assunti da una qualsiasi soluzione regolare 
dell'equazione (B,) su di una curva chiusa a, priva di punti comuni con l’asse w, 
