ERO NE 
é si denotano rispettivamente con l ed L i limiti inferiore e superiore della fun- 
L 
sione y°/ sopra 0; în a punto interno a questi curva si ha 
1 
(50) | $*(m so NO lg ’) s4gsgy © (v: + x Llo ,) i 
dove ww, e w, sono le due osi armoniche, ben determinate, assumenti sul con- 
torno 0° rispettivamente 1 valori 
1 
CA Bu 2 5 
Ut fi > IRR S0 ri LUSVE 
Stabilito questo teorema, ne consegue subito la validità del terzo principio per 
le soluzioni regolari delle equazioni (E) ed (E). 
Infatti, se o, è un punto di discontinuità della funzione /, avvicinandosi ad esso 
dalla parte interna a 0 e con un cammino non tangente a questa curva, i valori 
limiti delle funzioni armoniche %w, e ws saranno dati rispettivamente da 
lim w = y0 If) H8 [i(o0+)— /(0—)]{— 2 118% 
i POETI pian RO]: 
limw=% IAGO ) ae HI) 2] | 36 18%. 
dove 0, e 0, denotano due numeri compresi fra 0 ed 1 (estremi esclusi), ed yo è 
il valore di y nel punto o,. Ne segue, per la (50), che il valor limite di 5 dovrà 
esser ppnreso fra 
5 
% l 19% 1 36 l 19» | 
E 5 
g L!E% +36 Ligy |. 
l 
Ya "or! WOSETIICOEoE 
) 
\ 
e i 
va (se) Vf) + 9/01) — ((00>]j_ 
cioè dovrà aversi 
VAC i lA CA 0 n A Cn EEA CO e IVA Ca e el A ee HE 
il che mostra che è limite di 3 è compreso fra f(0,—) ed f(00+). 
Con ciò resta dimostrata la validità del 3° principio per le soluzioni dell’equa- 
zione (E), supposto che la curva o non abbia punti in comune con l’asse ©. È però 
facile persuadersi che quest’ipotesi non è per nulla essenziale, ma bensì l’altra che 
i punto di discontinuità che si considera non cada sull'asse x. Infatti, sempre 
che quest'ultima ipotesi sia verificata, potremo ridurci al caso precedentemente con- 
siderato, asportando la parte dell'area S contigua all'asse x, mediante una curva che 
non tocchi il punto di discontinuità e non abbia punti comuni con l’asse ®. 
$ 11. — Dai ragionamenti del paragrafo precedente si conclude che il teorema 
di Schwarz è applicabile all'equazione (E), nel semipiano ellittico, e ciò ancorchè 
uno dei due contorni sia in parte costituito da un segmento dell'asse 4, purchè 
i punti ad essi comuni siano fuori di questa retta. Fondandosi su ciò, è ora facile 
dimostrare il seguente teorema: 
Esiste una (ed una sola) soluzione regolare dell'equazione (K) assumente va- 
lori arbitrariamente fissati, con legge di continuità, sul contorno costituito da un 
