E 1) 
segmento AB dell'asse a e da una qualsiasi curva 0 del semipiano eilittico pas- 
sante pei punti A e B, purchè: 
1°) la curva o termini verso gli estremi con due archetti AA' e BB', di 
lunghezza piccola quanto si vuole ma finita, della curva normale e passante 
per A e B, e, nella restante sua parte, si svolga tutta all'esterno di detta curva; 
2°) la funzione dell'arco costituita dai valori deposti su 0 sia dotata di 
derivata prima finita e continua negli intorni dei due punti A e B. 
Infatti, indichiamo rispettivamente con c' e o, le parti delle curve e e o che 
restano dopo soppressi i due archetti AA' e BB' che esse hanno in comune, e, detta s 
una curva qualsiasi congiungente A' con B' senza mai uscire dall'interno di e nè 
incontrare mai l’asse x, consideriamo i due contorni (0), s) e (AB, c) i quali rac- 
chiudono due aree S, ed S, aventi una parte in comune [quella interna al con- 
torno (c', s)]. Per entrambi questi contorni sappiamo già risolvere il problema dei 
valori al contorno per l'equazione (E): invero il primo di essi non ha alcun punto 
in comune con l'asse #, ed il secondo rientra nella categoria di quelli considerati 
nel teorema del $ 5. Ne segue, pel teorema di Schwarz, che il problema dei valori 
al contorno potrà risolversi anche pel contorno limitante le parti comuni e non co- 
muni alle due aree S, ed S,, e cioè pel contorno dato (AB, 0). c.d. d. 
Indubbiamente le condizioni imposte alla curva o dall’enunciato del teorema 
precedente sono sensibilmente restrittive e potranno notevolmente allargarsi. 
Ad es. è facile vedere che alla prima di esse potrebbe sostituirsi l'altra che 
la curva 0 termini verso gli estremi con due archetti di due opportune curve normali, 
e, nella restante sua parte, si mantenga sempre u distanza finita dall'asse ®. 
Infatti, limitandoci ad un semplice cenno del procedimento con cui si può per- 
venire a questo risultato, si comincia col dimostrare, sempre col metodo di Schwarz, 
il teorema di esistenza nel caso del contorno Y limitante l’area complessiva di un 
numero qualsiasi di curve normali, poste l'una a fianco dell'altra e tali che due con- 
secutive sì compenetrino sempre in parte. Successivamente si costruisce su AB un 
contorno del tipo Y° che sia tutto contenuto in o e, supposto che questa curva termini si 
con due archetti finiti di Z°, e cioè con due archetti di due opportune curve normali, 
completa la dimostrazione nellajstessa maniera di poc'anzi, sostituendo Z° al posto di c. 
Invece l'eliminazione della restrizione che o debba ad ogni modo terminare con 
due archetti di curva normale, non è cosa agevole, non tardandosi a riconoscere che 
la legittimazione del passaggio al limite con cui a prima giunta parrebbe. potersi 
raggiungere l'intento, presenta non lievi difficoltà. 
D'altra parte, védremo nel prossimo Capitolo che l'aver imposto a o la condi- 
zione in discorso si presenta molto opportuno per la deduzione rigorosa della for- 
mula fondamentale su cui è imperniata la dimostrazione del tecrema generale di 
esistenza: anzi (beninteso, senza che neanche allora si possa parlare di necessarietà 
della condizione) sarà facile persuadersi che, se anche fosse stato possibile eliminare 
quì tale condizione, si sarebbe dovuto ripristinarla in quell'occasione. 
Per tutti questi motivi noi ci accontenteremo del teorema precedente, lasciando 
anche da parte, per amor di semplicità, la generalizzazione di cui abbiamo fatto cenno 
or ora. 
