CAPITOLO V. 
Il teorema di esistenza generale: Sua riduzione ad un’equazione integrale. 
$ 1. — Come abbiamo già avuto occasione di accennare, lo scopo principale che 
ci proponiamo nella presente Memoria è l'inversione del teorema di unicità dimostrato 
nel Cap. II, cioè la dimostrazione dell'esistenza della soluzione di cui quel teorema 
assicura l'unicità. Ora però che dovremo cominciare ad affrontare questa questione 
più direttamente di quel che non si sia fatto nei Capitoli precedenti (aventi pre- 
valentemente carattere preparatorio), è opportuno impostare anzitutto il problema 
in termini netti e precisi. A tal uopo conveniamo, per brevità di discorso, di chia- 
mare contorno misto di prima specie un contorno (aperto) come quello su cui erano 
assegnati i valori di z nel teorema di unicità, allorchè si suppone, per di più, che 
la curva o soddisfi alle condizioni di cui nell'enunciato del $ 11 del Capitolo pre- 
cedente (1). Conveniamo inoltre di chiamare campo dr/erno, ad un siffatto con- 
torno CAB, l’area compresa fia o e le due caratteristiche CA e CB. spiccate 
da C. Ciò premesso, il teorema di esistenza che ci proponiamo di dimostrare può 
essere enunciato nel modo seguente: 
Esiste, nell'interno di un dato contorno misto di prima specie CAB, una 
(ed una sola) soluzione regolare dell'equazione (E) assumente sul contorno valori arbi- 
rariamenle prefissati ; purchè, dette rispettivamente f(0) e g(s) le funzioni dell’arco 
costituite dar valori deposti sulla curva o e sul pezzo di caratteristica AC: 
1°) le funzioni f e g siano sempre finite e continue; 
2°) la funzione f sia dotata di derivate dei primi due ordini finite e continue 
negli intorni dei punti A e B; 
3°) la funzione g sia dotata di derivate dei primi tre ordimi finite e continue 
lungo tutta AC: 
4°) 1 valori di f e gp in A, nonchè quelli delle loro derivate prime, cormerdano. 
Sarà bene accennare anzitutto, in rapida sintesi, quale sia il concetto informa- 
tore della dimostrazione, che cì accingiamo ad intraprendere, del precedente teorema: 
Indichiamo anche qui, analogamente a quanto si è fatto nei Capitoli precedenti, 
con (x) i valori assunti sull'asse 2 dalla soluzione 4 di cui occorre provare l’esi- 
Stenza, e con v(x) quelli della sua derivata rispetto ad y, ed osserviamo che, se noi 
potessimo determinare la funzione (x), il teorema di esistenza sarebbe senz'altro 
(1) Invece se, come nel teorema di unicità, non si fa alcuna speciale ipotesi sulla curva 0, 
diremo che il contorno è di seconda specie, e lo diremo invece di terza se inoltre, nel semipiano 
iperbolico, il pezzo di caratteristica AC è sostituito da un pezzo di curva qualsiasi soddisfacente 
a certe condizioni; di questi ultimi contorni non avremo però mai ad occuparci nel presente lavoro, 
Finalmente un contorno misto si dirà normale se, essendo di 12 specie, la curva o si confonde 
addirittura con la curva normale c. 
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CLASSE DI SCIENZE FIsIcHE — Memorie — Vol. XIV, Ser. 53. 2 
