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a considerare le equivalenti di esse nel caso dell'equazione di Eulero Poisson, in un 
suo interessante lavoro sulle equazioni iperboliche ('). Ognuna di queste soluzioni 
è sempre reale, finita e continua in tutto il semipiano ellittico e sull'asse x, eccezion 
fatta soltanto del punto (x, 0) nel quale essa diviene infinita d'ordine 1/3. Invece, 
nel semipiano iperbolico essa diviene infinita d'ordine 1/6 in tutti i punti delle due 
caratteristiche uscenti dal punto (x, 0) e, mentre è reale &/ di sopra di queste due 
caratteristiche, è immaginaria a/ di sotto delle medesime. 
Le curve normali, di cui a più riprese si è discorso in quanto precede, non sono 
evidentemente altro se non le curve di livello costante delle soluzioni di Le Roux. 
Non è però questa la sola proprietà di queste soluzioni in connessione a quelle curve; 
un'altra p. es. è quella rappresentata dal seguente teorema cui dovremo far presto 
ricorso : i 
Se ec è una curva normale incontrante l’asse x nei due punti A e B, 
ed M(x,,0) e M'(21,0) sono due punti di quest'asse separati armonicamente 
da A e B, il rapporto delle due soluzioni di Le Roua 
CCACRONNE e [e(w{|e,)I 7? 
è costante su tutta la curva e. 
Infatti, supposto per semplicità che l'origine sia il punto medio di AB, sia 
l'equazione di ce, e si consideri il semicerchio XK (di raggio c) che ha per dia- 
metro AB e giace dalla parte delle y positive. Ciò posto, detto P(4’,y') un punto 
qualsiasi di e, si chiami Q(2',y") la sua proiezione sul semicerchio X fatta paral- 
lelamente all'asse y; avremo allora evidentemente 
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TA peo) Po gole; 
dalle quali segue subito 
o(x1|e',y)=Vat—2x,0' 4 e, dist MQ=|at—2a, aLe, 
cioè, il valore della funzione o(x.|xy) in P_è uguale alla distanza di Q da M. 
Ora, quello che si è detto per M può ripetersi per M', quindi il rapporto dei 
valori delle due funzioni 0(2,|2,9) e e(xi|x,y) in P è uguale al rapporto delle 
distanze dei due punti M ed M’ da Q; ma quest’ultimo rapporto non muta al variare 
di @ sul semicerchio perchè il gruppo (ABMM') è armonico; dunque anche il rap- 
porto fra 0(x,|x',y) e o(x1|2',y) non muta al variare di P_sulla curva normale, 
e ne segue il teorema. 
(1) J. Le Roux, Sur les intégrales des équations lineaires aua dérivées partielles, ecc. [An- 
nales scientif. de l’École Norm. Supérieure. (8), 12, (1895)], $ 45, pag. 295. 
