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È facile persuadersi che le derivate prime della soluzione W risulteranno finite 
e continue anche sull'asse 7. Infatti, essendo i valori deposti sull'asse @ tutti nulli, 
per costruire W non è necessario far intervenire la soluzione & di cui nel $ 7 del 
Cap. IV, che è quella che può introdurre delle singolarità nei valori sull'asse « 
della derivata parziale rispetto ad x. Inoltre, tanto la funzione W, quanto le sue 
derivate parziali di qualsivoglia ordine, si conserveranno finite amcorehè si faccia 
tendere x, ad uno dei valori estremi 0 ed 1. Infatti, nella definizione di W non 
entrano se non i valori di w su 0,, cioè i valori di w dr vr campo è cui punti son 
tutti a distanza finita dall'asse @, e questi, come pure le loro derivate di qualsi- 
voglia ordine, si conservano sempre finiti ancorchè x, tenda a 0 o ad I. Quest’ul- 
tima proposizione, la cui importanza apparirà chiaramente nel seguito, non potrebbe 
invece stabilirsi, almeno in modo così semplice, se la curva o non terminasse con 
quei due archetti AA" e BB' in comune con la curva e. Era a ciò che si alludeva 
in fine del Cap. precedente, allorchè si disse che, nel presente Cap., si sarebbe pre- 
sentato molto opportuno l'aver imposto a o la condizione in discorso. 
Finalmente poniamo 
(9) ux|e,y9)=wKW; 
siamo così venuti a costruire una soluzione della (E), regolare in tutto il semipiano 
ellittico, che si annulla su tutta la curva o, mentre sull'asse delle 7 assume i valori 
1 1 
(10) (Col CO) — — o 
la—20|® (ro pa 2202) 
Premesso tutto ciò, sia 4 una soluzione regolare qualsiasi dell'equazione (E) 
e scriviamo l'identità, analoga alla (16) del Cap. precedente, 
dU 
G(e) — 26 pri DI 3° È 
i) o=us@ 602 |e(e ile) 
dove 6 simboleggia l'operazione rappresentata dal primo membro dell’equazione (E). 
Indi, detto S, il campo compreso fra o ed AB dopo che sia stato tolto da esso 
il punto M, (singolare per la v) mediante una piccola curva normale co = M'M" 
di equazione g(x0|2.y) = R, integriamo due volte la (11) in S,; avremo così l'altra 
identità 
a Ò dg D) 5 D) È 
NI i piu a) sgSÈ (13 —:°\l4rdy=0, 
Sl de dr dI dY dY dy! N È 
da cui, applicando il primo lemma di Gauss, può trarsi 
OT SO ITOR 
dr du èy da! dr dn dy dn 
AVG Î 2 du < 
+ SC i e- o) d= 0 
li dY dY y=0 
dove d(0) denota l'elemento d'arco di a o c,, ed 12 la direzione della normale a dg 
