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Orbene; quest'equazione di prima specie possiamo risolverla. Infatti, nel S 8 
del Capitolo precedente abbiamo dimostrato che, nelle condizioni in cui quì ci troviamo, 
v(x) si esprime in funzione di an mediante la formula 
li EEA 
[a°+(1—2a)y]° 
Da queste formule è facile desumere che il nucleo 
(41) SISSA 
DI 
3 
|et—y] 
(40) va) = 
è chiuso. 
Infatti il nucleo 
[a + (1-20)y]" 
è manifestamente chiuso perchè, ponendo 1 - y=2Y, esso può svilupparsi, a meno 
di un fattore numerico, nella serie 
> (1-22) CE (1), 
n=0 
«dove le C sono le funzioni di Gegenbauer studiate nel Cap. III, le quali, allorchè 
l’indice superiore resta fisso, costituiscono un sistema chiuso. Ne segue per la (38) 
che, sempre che è //=0, è anche F=0, e quindi f/=0. Ma se /=0, per 
la (40) è v=0; dunque, sempre che l'integrale a secondo membro della (39) è iden- 
ticamente zero, la funzione v è identicamente nulla, cioè il nucleo (41) è chiuso. 
Dalla proposizione stabilita discende subito che y non può essere un parametro 
del nueleo dell'equazione (35). . 
Infatti, se y fosse parametro, la corrispondente equazione omogenea avrebbe 
delle soluzioni non identicamente nulle: Sia # una di queste soluzioni e # sia, cor- 
rispondentemente, la soluzione della (E) assumente valori / tutti nulli sulla curva 0 
e i valori 7 sul segmento AB. Poichè sempre che la funzione / è identicamente 
nulla anche /, è tale, nel caso in esame l'integrale a 2° membro della (35) è sempre 
zero; il che, essendo il nucleo (41) chiuso, implica che v==0. Ma, in fine del 
Cap. II, fu osservato che ogni soluzione della (E) per cui è f=0, v=0 è iden- 
ticamente nulla; dunque 5, e quindi #, dovrebbero essere identicamente nulle, in 
contradizione con l’ipotesi fatta. 
Se ne conclude che l'equazione integrale (35) è invertibile, epperò da essa po- 
tremo trarre 
(42) (= — (”* Media | i |" dy + 
5) le—yÈ tira) 
Lf) +7 Î COLE ui 
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