Consideriamo l’ integrale 
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ed osserviamo che, mentre esso ha un significato ben determinato e finito sempre 
che la funzione /(x) è tinita nell'intervallo (a,0) o al più diventa infinita d’or- 
dine minore di uno in qualche punto, ne è invece privo se /(x) diviene infinita di 
prim'ordine in qualche punto compreso fra 4 e d. Si presenta però spontanea l’idea 
di considerare in tal caso come valore dell’integrale G il valor limite (se esiste) 
dell'integrale della funzione /(@), esteso all'intervallo («, 2) da cui siano stati tolti 
i punti singolari mediaute degli intervalletti di ampiezza evanescente. Così p. es., se 
di questi punti singolari non ve n’è che uno, €, sì porrà 
cal 
È però agevole persuadersi che così facendo, in generale, G non avrà un solo valore 
ma infiniti, dipendendo il limite (31) dal modo con cui #' ed #” si fanno convergere 
a zero. Per esempio, se fosse /(x)=1/(a — c), risulterebbe G=1g[(2—c)/(ec—-a)]+ 
-+ lim lg (8 /8”). Fra questi infiniti valori di G ha speciale importanza quello che si 
ottiene facendo # =" in tutti gli stadî del passaggio al limite, col che sparisce 
ogni indeterminazione. Tale valore lo chiameremo, con Cauchy, valor principale del- 
l'integrale improprio; e, essendo opportuno distinguerlo con un simbolo speciale, lo 
indicheremo sovrapponendo un asterisco al solito segno d'integrazione. Sarà dunque, 
per definizione, 
(82) fra rim [(+ [Jose 
In particolare, nell'esempio dianzi considerato, si avrà 
Più generalmente è facile vedere che, se A(x) è una funzione finita e continua, do- 
tata di derivata prima finita o, al più, infinita d'ordine minore di uno, si ha 
(33) SE 2) g da = A(0) lg(D—e)— A(a)lg(c—a) -— fa) le |ea—c|ds. 
Così pure, nelle medesime condizioni, si ha 
(34) Je I) in lim |- 5 =. PS i ud "|. 
eEe>0 
come può agevolmente verificarsi tenendo conto della (33) e ricordando che 
lim (e° — 1)/e= lg. 
E>0 
CLASSE DI sciENZzE FISICHE — MemorIE — Vol. XIV, Ser. Ba, 30 
