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Finalmente, essendoci ciò necessario nel seguito, occupiamoci del problema del- 
l’inversione dell’ordine di due successive integrazioni « con asterisco ». 
Anzitutto è facile vedere che, se i punti critici della funzione integranda sono 
fissi, cioè non dipendono dalle variabili d'integrazione, è lecito invertire senz’altre 
l'ordine delle due integrazioni, come se si trattasse d’integrali ordinarî. Così pure 
è sempre lecito invertire l'ordine di un'integrazione ordinaria e di una « con aste- 
risco ». Invece, se si tratta di due integrazioni entrambe « con asterisco » e i punti 
critici dipendono dalle variabili d'integrazione, si avrà in generale un residuo di 
cui bisogna tener conto. Precisamente, limitandoci al caso che ci interessa, se f(x, 7,34) 
è una funzione finiti e continui, nell'intorno del punto y=3=x, assieme colle sue 
derivate prime rispetto ad y e a 3 (2), st ha la formula i 
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supposto, beninteso, che, nel piano y,8, il punto P(x,) sia interno al rettangolo 
R=(0,0), (0,4); (0,0), (a, 0). 
Infatti, osserviamo anzitutto che, se Ri= (4,1); (#1, 4); (4,01), (ai, di) è 
un altro rettangolo analogo ad R, comprendente del pari il punto P nel suo interno, la 
differenza fra ciascuno dei due integrali doppî che compaiono nella (35) e gli analoghi 
estesi al rettangolo R,, può esprimersi per mezzo di integrali doppî con un solo 
asterisco. Ne segue, essendosi già osservato che si può sempre invertire l'ordine di 
una integrazione ordinaria e di una con asterisco, che 
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In particolare, supposto 0 <x< |, il che può sempre ottenersi, possiamo as- 
sumere come R, il quadrato (0,0) ,(1,0),(0,1),(1,1), e allora tutto sarà ridotto 
(') Queste condizioni, che qui imponiamo per semplificare la dimostrazione, possono notevol- 
mente generalizzarsi. 
(*) Posseggo questa formula fin dai primi del 21, ma non l’ho pubblicata per le stampe 
prima d’oggi. Pertanto la priorità di essa spetta al sig. Bertrand in una cui Nota, su cui dovrò 
tornare più avanti. pubblicata nei Comptes rendus del 13 giugno 1921 (tom. 172, pag. 1458), è data 
(senza dimostrazione) una formula che, trasportata nel campo reale, equivale sostanzialmente 
alla (35), per quanto risulti valida sotto condizioni assai più restrittive. 
