CAPITOLO VII. 
Inversione dell’equazione integrale ottenuta nel Capitolo precedente. 
S 1. — Per dare all’equazione (40) l’aspetto consueto delle equazioni integrali, 
poniamo Ì 
| DELI 1 
(c.y= {E chica ? 
1) \ 1259) (e) 3 cty— 2xy 
f A Il 
pa)=v®) , f(@)= ua) è, A == 
| (9) 
e alllora essa diverrà 
* 
1 
(2) DB) 2f K(c,y) gy) dy= (2). 
0 
La (2) ha l'aspetto di una delle solite equazioni di Fredholm, 2% specie, sol- 
tanto che in essa, in luogo di un integrale ordinario, c'è un integrale « con 
asterisco » ('). 
Per cercare di risolverla, cominciamo col detinive gli é/erazi nel nucleo K con 
le formule 
n_ 
1 / 1 
016,6) Kiu(259) 025 (@=I52 800 
—_ 
(8) Kr, M)=K(,9); Ku(e,y) =? 
n zi o 
Se si trattasse di un’ordinaria equazione di Fredholm, la precedente definizione 
coinciderebbe colla consueta perchè allora, per un noto teorema, i termini del som- 
matorio risulterebbero tutti uguali fra loro. Qui invece ciò non si verifica, più non 
reggendo il teorema ora ricordato, il che non deve sorprendere ove si consideri che 
la dimostrazione di questo è imperniata sull’invertibilità dell’ordine di due successive 
integrazioni ordinarie, invertibilità che nel nostro caso vien meno. 
In particolare le (3) forniscono 
2 
Ds 
Ja sf Va 1 )( 1 - <p at 
Ks(7,7) —(0) i È ES, r+e—-2az u=@ e4y— 2ey qag= 
(det) 
x(1—y) 
= K(x,y)2lg 
(*) La Nota del sig. G. Bertrand, citata nel Capitolo precedente ($ 6), è dedicata appunto ad 
equazioni siffatte, su cui, secondo quanto mi consta, in lavori precedenti non si trovano se non 
cenni fuggevoli. Però neanche nel lavoro di Bertrand si procede ad uno studio organico della que- 
stione, ma soltanto, dopo premessi alcuni teoremi su quelli che io chiamo «integrali con asterisco» , 
sono considerate tre speciali equazioni del tipo in discorso, di cui due di prima specie ed una di 
seconda. Inoltre all’A. sembrano sfuggire le analoghe di quelle che, nel caso della (2), dirò solu- 
zioni eccezionali dell'equazione. 
