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dove A(x) denota una funzione regolare nell'intervallo (0,1) ed 7 ed s due numeri 
reali qualsiasi, può enunciarsì il seguente teorema: 
Nel campo delle funzioni regolari e quasi regolari, l'equazione omogenea (23) 
non ammette altre soluzioni non identicamente nulle che quelle date dalla formula 
5 * 
—(2+20 ) (I — p)20* | 
(25) p(a) = Cx 
dove C è una costante arbitraria e 0% è dato da 
Il 
(26) 0== e to dr , (am <arc.tg Arg <0). 
Infatti, cominciamo col far vedere che i numeri 7 ed s non possono essere del tutto 
arbitrarî All'uopo, supposto che @(+) soddisfi all'equazioneeche sia A(0) +0, A(1) #0, 
sostituiamo l'espressione (24) nella (23); avremo così 
* 
A(0) g"(1_—a))}=4 Î K(x,4) A(4)y"(1 — y)° dy 
0 
da cui, trasformando l'integrale per mezzo della sostizione (12) e sopprimendo il 
fattore x"(1 — x) che risulta comune ai due membri, si ha 
È 2US+1 dé 
(27) Al) Cin Ar =) e (==) 
uguaglianza nella quale, essendo il primo membro sempre tinito, tale dovrà essere 
anche il secondo, e @ fortiori per a generico. Ma affinchè l'integrale che figura 
nella (27), per x diverso da 0 e da 1, sia finito, è manifestamente necessario che sia 
SpP1=-1,, r4s45/3+2—-(s41)=1; 
dunque si hanno le due limitazioni 
(28) PES = = 
Ciò premesso, sempre nell'ipotesi che (x) soddisfi alla (23), moltiplichiamo 
ambo i membri dell’ identità 
per la funzione 
(1-2) a PE 
(29) L(x,2|u=— K(x,2) per 
e quindi integriamo « con asterisco » rispetto a <, fra 0 ed 1; avremo così, almeno 
formalmente, 
>k 
* * 
1 1 1 
f L(2,2|u) (2) de=1 L(e,2|u) de | K(2,9)0(4) dy, 
0 Z0. 
“0 
pig - 
rito 
2A 
ti 
