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Premesse queste formule, trasformiamo l'integrale che figura nella (42), che indi- 
cheremo brevemente con I, con la solita sostituzione (12); avremo così 
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Cominciando coll’esaminare il 2° dei due integrali ottenuti, che chiameremo rispet- 
tivamente I, ed I,, osserviamo che la funzione che, sotto il segno f, moltiplica x 
è sempre positiva nell'intervallo d'integrazione; pertanto potremo porre 
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h=x0) | _———=. Lil: 2). 
Vo ei = 
avendo indicato con 4 un conveniente numero compreso fra 0 ed 1; il che, tenendo pre- 
sente la (48), mostra che I, è finito ancorchè x si faccia tendere allo zero. 
Passando ora al primo integrale, fissiamo in un modo qualsiasi due valori 
ed" di £, il primo compreso fra 0 el 1 ed il secondo maggiore di uno, e spez- 
ziamo I, i tre integrali I,, I° ed I estesi rispettivamente agli intervalli (0, #'), 
(8, 0"); (£",+ 0). Nel primo di questi intervalli la funzione integranda, 4/ più, 
diventa a d'ordine 1/3 per £=0, e ciò nel caso che fosse proprio x=0, di 
guisa che I; è certamente finito, ancorchè 2 >0. Similmente, certamente finito è 
anche I perchè la funzione integranda è sempre finita per {> e inoltre, eselu- 
dendo che x possa raggiungere o avvicinarsi indefinitamente al valore 1, diviene 
intinitesima d'ordine 4/3 per {->-|- co. Resta finalmente da considerare l'integrale I 
che, avvalendoci della formula (33) del Cap. prec., potremo scrivere 
= p lg |i=<| ae 
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ma, in virtù delle nostre ipotesi, la derivata che figura sotto integrale è una funzione 
al più infinita d'ordine minor di 1 nell’intervallo d’integrazione; dunque anche l’ inte- 
grale I, è finito, e ne segue la proposizione enunciata. 
