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formula che, osservando: 1°) che il limite della funzione integranda per y>1/2 è 
finito, come si vede agevolmente con la regola di L’Hospital; 2°) che il rap- 
porto |£— y|/(E + — 28y) è sempre finito per 0 << 1; può mettersi sotto la 
forma 
x L(2,7) I | R(2,y,8) 
E ii go 
yÈ n |e—y|? 
avendo indicato con R una funzione finita e continua. Ma l’integrale precedente è 
finito; dunque potremo scrivere ancora 
d*L(2,9) se I 
(54) 9, y °*S,y), 
dove S denota una funzione sempre finita e continua. 
Ciò premesso, deriviamo rispetto ad y la (25) del Capitolo precedente; avremo 
allora 
dIn(e.9) _ 3*lule.y) _ 43 fa DLE 9) de 
dI ded N 2r d 
; E n i) 
D 
3 
‘ cioè, tenendo conto della (54), 
Ir) i CRI 
= si È pi f S(E,y)(a—-È) 3? di, 
il che mostra che >L»/dx è, 4! più, infinita d'ordine 1/3 per y>0. 
Se ne conelnde, per la (52), che anche l'integrale Gi, al pari di G,,G, e G,, 
è sempre finito, epperò il nucleo M è sempre finito e continuo. c. d. d. 
Dalla proposizione ora dimostrata consegne ch'è lecito applicare all'equazione 
integrale (51) l'ordinaria teoria di Fredholm; e pertanto esisterà una, ed una sola, 
funzione y(7) che la soddisfa, sempre che 1/2 non sia parametro del nucleo M. Ma 
può 1/2 essere un parametro del nucleo? Dico che ciò non è possibile. 
Supponiamo infatti che 1/2 sia parametro e supponiamo inoltre che, sul con- 
torno di cui si parla nel teorema di unicità, siano stati deposti dei valori tutti nulli, 
e si voglia determinare, se è possibile, una soluzione regolare 5 dell'equazione diffe- 
renziale (E) soddisfacente a queste con lizioni al contorno. Si verifica immediata- 
mente che, essendo i valori al contorno tutti nulli, la funzione w;(x) risulta iden- 
ticamente nulla; pertanto la determinazione di 5 dipende dall'equazione integrale 
omogenea 
(61) 20) —f Me, x) wy=0, 
dove x(x) è una funzione legata a 7 dalle stesse relazioni che legano y(@) a 4. 
Essendo, per ipotesi, 1/2 un parametro della (51), la (51°) avrà certamente 
soluzioni non identicamente nulle: sia y;(x) una di queste. A y,(7) corrisponderà 
una soluzione regolare 5, della (E) annullantesi sulla curva o e sul pezzo di carat- 
teristica AC, sensa essere identicamente nulla. Infatti, se #, fosse identicamente 
