pr A D'NI 
be: 
nulla, posto 
anche v,(x) dovrebbe essere tale, epperò, per la (41) del Cap. precedente, essendo 
nel caso in esame wi(x)=0, dovrebbe essere anche x;(2) = 0, contrariamente al 
supposto. 
Mostra quanto sopra che l'ipotesi che 1/2 sia parametro della (51), porta alla 
conclusione che esiste almeno una soluzione regolare #, della (E), annullantesi sulla 
curva o e sul pezzo di caratteristica AC. Essendo tale circostanza in contradizione 
col teorema di unicità, se ne conclude che la precedente ipotesi è da rigettare. 
Possiamo dunque risolvere senz'altro l'equazione (51); a tal nopo, detto in gene- 
rale N(2,y|4) il nucleo risolvente di Fredholm che corrisponde al nucleo M(x,y), 
poniamo per semplicità 
N(w,y)=N(a,y]1/2), 
avremo allora 
SI 
2 1 
(55) =) 3 S Nes) vi) ey. 
La (55), essendosi a suo tempo fatto vedere che la funzione wi(x) è sempre 
finita e continua, mostra che anche /a /urzione y(x) è sempre finita e continua, 
ancorchè si faccia tendere x a sero 0 ad uno. Invece lu derivata prima y(x), 
contenendo il termine wi (x), divieve in generale infinita d'ordine 2/3 per 1>0 € 
d'ordine 1/3 per c>1 (cfr. Capitolo VI, $ 4). 
S$S 7. — Calcolata che sia y(v) per mezzo della (55), si sostituiranno i valori 
così trovati nella (49), e in tal modo si otterrà v(x); quindi questi ultimi valori si 
sostituiranno in una qualsiasi delle equazioni del sistema (48) del Capitolo V, 
p. es. nella prima, e così finalmente si perverrà alla conoscenza della funzione z(x); 
per mezzo della quale, supposto che risulti una funzione finita e continua, possono 
calcolarsi effettivamente, nel modo indicato nel $ 1 del Capitolo V, i valori della 
soluzione di cui dobbiamo dimostrare l’esistenza. 
o Per ultimare la dimostrazione del teorema di esistenza, dobbiamo pertanto di- 
mostrare ora, soltanto che /a funzione t(x), calcolata nel modo suaccennato, risulta 
sempre una funzione finità e continua. 
A questo scopo cominciamo con l’osservare che la funzione v(x) che, come si è 
già visto nel $ 5, è sempre finita per O0<x<lI, per x >1 diviene, al più, in- 
finita d'ordine 1/3. 
Infatti, l'integrale I del S 5 può anche porsi sotto la forma 
L 
3 
Di Î x, | d di 
== gli, ae e=, |-—————__—_____ '—?+{‘- 
À g4 (1-2) 
[td odio 
a 0 
al 
