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con un’automatica sostituzione di lettere nell’enunciato di un teorema di Apollonio 
(Coniche, lib. I, prop. XIII), fatto questo della massima importanza come prova del fatto 
che la geometria analitica, ne” suoi primordii, non fu che una metamorfosi dell'antica geo- 
. metria dovuta all'influenza della simbolica algebrica (cfr. quanto dicemmo nel Cap. I, $ 1). 
\ Un’altra applicazione del medesimo schema di calcolo si riferisce alla concoide di 
Nicomede; qui però Descartes non fa se non enunciare la relativa costruzione, la- 
sciando in chi legge il desiderio di conoscere i particolari dei suoi ragionamenti. Meno 
conciso è il nostro autore nell’applicazione dei medesimi concetti alle ovali che hanno 
tanta parte nella sua Diothrica, evidentemente perchè sentì il bisogno di colmare una 
lacuna lasciata in quest'opera (*). 
Assai più di quanto egli dice a tale proposito, c’interessa l’ultima pagina del 
II libro della Géomeétrie, chè ivi egli fa un cenno rapido, ma chiarissimo, intorno al- 
l’estensione, allo spazio, del concetto di coordinate. A ciò egli perviene mediante una 
duplice proiezione ortogonale su due piani fra loro perpendicolari; avendo, però, consi- 
derata la cosa un po’ superficialmente, non si accorse che la conseguente riduzione di 
problemi stereometrici a questioni piane è effettuabile soltanto in aleuni casi (?); in 
particolare gli sfuggì che, mentre ciò era possibile riguardo al problema delle tangenti, 
non lo era affatto riguardo a quello delle normali. In conseguenza egli commise due non 
levi errori: quello, cioè, di ritenere che una curva gobba, al pari di una linea piana, 
avesse in ogni punto una normale determinata ed unica, e l’altro di ammettere che le 
normali in punti corrispondenti delle due proiezioni ortogonali di una linea sghemba 
fossero le proiezioni di una normale di tale linea (3). 
Quanto trovasi esposto nei due primi libri della Géoméhe abilita Descartes a con- 
gegnare metodi per risolvere graficamente i problemi di un grado superiore al secondo, 
col vineolo di servirsi dei mezzi più semplici possibili (4); e, per meglio illustrare i suoi 
(1) Queste curve sono definite mediante una relazione della forma 14 ko = cost., 01 € 03 
essendo, le distanze di un punto della curva da due poli fissi; tale definizione fa risalire a Des- 
cartes l'invenzione delle coordinate bipolari, come la definizione della spirale d’Archimede col- 
lega quella’ delle coordinate polari al sommo geometra di Siracusa. Sulle ovali di Descartes si 
veda il frammento postumo pubblicato in Oewwres, tom. X, pp. 310-328. 
(2) Un cenno un po’ vago di tale imperfezione fu fatto da M. Cantor per suggerimento di P. Sti- 
ckel (Vorles. ber Gesch. der Mathem., IT Band. IT Aufl., Leipzig: 1900, p. 816). L. Schlesinger, nella sua 
versione tedesca della Géométrie (2° Aufl., Leipzig 1923, p. 121), si limita a rimandare al Cantor. Più 
esplicito al riguardo è lo Zeuthen (Geschichte der Mathem. in XIV und XVII Jahrhundert, Leipzig 
1903, ip. 2192). 
(*) Siaci lecito chiarire questa osservazione col seguente ragionamento: La curva P abbia per 
proiezioni ortogonali, su due piani 7117, fra loro perpendicolari, le curve 1° e 1”. Siano Pe PY le 
proiezioni diun punto P dir;t en'latangente e la normale in P'a 7, te n”le rette analoghe per 
T'; # e t' saranno le proiezioni della tangente # in Pa T. Sia poi n la retta avente per proiezioni 
nen”. Ora,.se è retto l'angolo nt avente per proiezione l’angolo retto n #, uno dei suoi lati dev'essere 
parallelo a 71,; # in generale non lo è, onde dovrà esserlo n. Similmente si dimostra che n dev'essere 
parallelo & 712; ma allora dovrà essere parallela valla retta, 77.. Ora, in generale, nel fascio costi- 
tuito dalle normali in 7 alla curva 7 non vi è alenu elemento parallelo a 77,713, che è una retta 
arbitraria dello spazio : dunque 7 in generale, non è normale a Pr. 
(4) Di tale condizione restrittiva parla chiaramente Descartes in una lettera scritta ad un ano- 
nimo, forse sullo scorcio del 1637 (Oewvres, tom. 1, p. 460). Che egli abbia cominciato assai prima ad 
occuparsi della risoluzione dei problemi geometrici con dati mezzi è dimostrato da altre due let- 
