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CAPITOLO, V. 
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Costituzione della teoria generale delle curve algebriche piane. 
$ 1. — NEWTON. 
Nella Céomvtrir di Descartes le curve algebriche sono considerate e studiate esclu- 
sivamente come ausiliari per la risoluzione delle equazioni pure algebriche; da quanto 
finora esponemmo risulta però che i geometri posteriori ravvisarono nelle linee piane 
in generale una miniera riechissima di nobile metallo; mostreremo ora, senza ab- 
bandonare il campo algebrico, come siasi in conseguenza costituita una disciplina, 
di solida struttura, la quale continua tuttora a dare nuovi frutti e ad ornarsi di 
nuove frondi, i 
La corrispondente letteratura si apre con la memoria di Newton intitolata Enume- 
ratio lineurum terti ordinis (*). Quantunque pubblicata soltanto nel 1704, essa sembra 
essere frutto di indagini che risalgono al 1676 ed essere stata redatta definitivamente 
nel 1699. Mentre prima le coordinate erano state usate soltanto per dimostrare pro- 
prietà note delle coniche, Newton ha offerto il primo esempio di applicazione meto- 
dica del calcolo algebrico allo studio ed alla classificazione di un’intera categoria di 
enti geometrici dianzi ignoti; e per conseguire lo scopo, ha usato il fecondissimo 
metodo di ridurre l’equazione generale delle curve considerate ad alcune forme tipiche, 
ricorrendo a trasformazioni di coordinate. Da quanto egli espone nella I sezione 
del suo lavoro risulta che egli riteneva evidente o già nota l’invariabilità del grado 
di un’equazione fra z ed y, dî fronte ad una trasformazione di coordinate; essa 
ha per corollario la nozione di ordine di una curva algebrica e l’idea di classificare 
tutte le curve algebriche in base a tale concetto. Di grande importanza è la IT sezione, 
chè Newton si propone ivi di estendere a tutte le curve algebriche alcune proprietà 
fondamentali delle coniche e giunge così ai seguenti teoremi: 4) Data una curva 
algebrica e condotte quantesivogliano trasversali fra loro parallele, se si determina 
sopra ciascuna il centro delle medie distanze dei punti d’intersezione, si ottengono 
infiniti punti di una retta (la si chiama dionetro); 6) Quando una curva algebrica 
possiede un numero di asintoti eguale al suo ordine, qualunque trasversale determina 
sulla curva e sugli asintoti due gruppi egualmente numerosi, aventi il medesimo 
centro delle medie distanze; c) Se da un punto qualunque del piano di una curva 
algebrica si conducono due trasversali parallele a due direzioni fisse, i prodotti dei 
sesmenti compresi su queste rette fra quel punto e la curva stanno fra di loro 
in un rapporto che dipende soltanto dalla posizione de) punto di partenza. Nella 
III sezione, non meno importante della TI, Newton dimostra che l'equazione di 
una cubica piana può sempre ridursi ad una forma tale che il suv secondo membro 
abhia la forma ax3 + dba* + ez + d, mentre il primo ha una delle espressioni se- 
(1) I. Newton, Opuscula mathematica, tom. I (Lausannae et Genevae. 1744), pp. 247-270; 
ctr. W. Rouse Ball, On Newton classifications of cubie curves (« Proc. of the London mathem. Society », 
tom. XX, 1891, pp. 104-143). 
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