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A noi interessa il I volume della sua celebre Introductio in analysin infinitorum (Lau- 
sannae 1748), ove l’applicazione dell’algebra alla geometria è esposta sotto forma. tal- 
mente perfetta che (a parte una lacuna che non mancheremo di segnalare), dopo yuasi 
due secoli, non offre il fianco a critiche ragionevoli. La presenza di tale lacuna — che 
consiste nell’avere Eulero, al pari dei predecessori, omessi tutti i problemi concernenti le 
figure di pertinenza della geometria elementare — si spiega perfettamente, osservando 
che dalle prime linee del suo celebre volume risulta che per lui 22 metodo, delle coordinate 
(limitato, per il momento, al piano) era esclusivamente un ordigno per investigare le pro- 
prietà delle curve piane; a prova di ciò, sì può citare il fatto che egli considera sempre 
i punti, non come a sè, ima come elementi di una linea. 
Nelle prime pagine del suo libro Eulero espose chiaramente quanto altri prima 
di lui aveva confusamente sentito, cioè la necessità: 1°) di fissare un origine (tin 
abscissarum) sopra la retta fissa (axis o directria) che funge da colonna vertebrale di 
qualunque sistema cartesiano ; 29) di distinguere su di questa una parte positiva ed una 
negativa; 3°) di caratterizzare in modo somigliante le due sezioni in cui tale retta divide 
il piano indefinito su cui sì opera e si ragiona. Sebbene egli usi quasi sempre coordinate 
ortogonali, non ignora quelle oblique e benchè in principio consideri soltanto l’asse 
delle ascisse, pure dalle formo!e per la trasformazione delle coordinate deduce che ascissa 
ed ordinata sono enti della medesima specie. Dalle stesse relazioni egli trae l’invarianza, 
rispetto ad un mutamento degli assi, del grado del polinomio che rappresenta una curva 
algebrica; cosicchè, se le equazioni di due curve riferite a differenti sistemi di coordinate 
sono di gradi differenti, non possono appartenere alla medesima linea. E finalmente 
dalle stesse ottiene come corollario il fatto tondamentale che una retta è sempre rap- 
presentata da un’equazione lineare, e viceversa. Eulero stabilisce il concetto di ordine 
di una curva algebrica interpretando geometricamente il grado del polinomio rappre- 
n(n-+4 3) 
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de’ suoi punti. Scendendo a più minuti particolari, egli osserva che, essendo rette le limee 
di primo ordine, lo studio delle curve d’ordine determinato comincia con quelle di se- 
cond’ordine; e per prime intraprende lo studio delle figure rappresentate dall’equa- 
zione generale di 2° grado fra le coordinate cartesiane di un pinto; ne stabilisce 
alcune prerogative e, dalla riduzione di quell’equazione a forme canoniche, deduce 
che le curve rappresentate altro non sono che le sezioni di un cono circolare retto. 
sentatore, e dimostra essere in generale una curva d’ordine » determinata da 
Ritornando poi a considerazioni di carattere generale, il grande matematico insegna 
a determinare gli asintoti di una curva, ottenendo così dati sufficienti per completare 
il quadro delle qualità di cui godono le curve di secondo ordine. I metodi applicati 
a queste servono poi ad Eulero per studiare e classificare le cubiche e le quartiche; il 
criterio di ripartizione da lui scelto è il contegno all'infinito; ma egli non scende a 
particolari troppo minuti, i quali avrebbero turbata P’euritmia del suo magnifico 
edificio. Ritornando ancora una volta a considerazioni applicabili a tutte le linee piane 
e tenendo fede all'impegno di mon ricorrere al calcolo differenziale, egli insegna come si 
calcolino la suttangente, la sunnormale e la curvatura in un punto arbitrario di una 
curva algebrica e come se ne scoprano i punti singolari. Sono, questi, temi svolti 
nelle trattazioni moderne della geometria differenziale piana. Ma lo stesso non può ripe- 
