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intieri moltiplicabili o divisibili isolatamente per ogni quadrato, e tutti assieme per 
qualunque fattore 
xy? +2? x? 4 y/2|2/2 xp ya y/2 
mi e @ 
(6 
r 
Xx+yy+z2= 
xa ld y y"4 zl gl— 0 (b). 
1 xx SL yy +L 77, = 0 
Siamo debitori della soluzione di questo interessante problema di analisi ad un 
nostro valente geometra all’avv. Genocchi. Egli trova, che onde x,y;,z, x,y,2, 
x". y",2"” siano intieri, è necessario, e basta, che si possano trovare tre numeri intieri 
u, v, t, che rendano intieri i quozienti 
uz +abh v4+be t8+ca 
c È a i b i 
ovvero in altre parole, che tornano allo stesso : Il prodotto negativo di due qualun- 
que dei numeri a, b, c deve essere residuo quadratico del terzo ('). 
Indi si trae la proposizione seguente : 
Si possono derivare dal sistema monometrico quei tipi cri- 
stallini, che soddisfacendo alla fatta ipotesi sopra i parametri, 
e ridotti poscia ad assi ortogonali, vengono allora ad avere per 
parametri le radici di tre numeri intieri tali, che il prodotto 
negativo di due qualunque di essi sia residuo quadratico del 
terzo. 
11. La soluzione del Genocchi si può compendiare come segue. 
Si premetta che non solo possano intendersi, come realmente si suppongono, li 
numeri a, b, c liberati da ogni fattore o quadrato, o comune a tutti e tre, ma 
ben anco scevri da ogni fattore comune a due di essi. Infatti moltiplicandoli tutti 
e tre per un fattore comune per esempio ad a e b, e togliendo poscia i fattori qua- 
drati risultanti, si caccia nel solo c il fattore comune ad a e Db. 
Si ponga 
Eee (a. 
E) b c 
Sarà k non solo razionale, ma ben anche intiero; poichè per la prima equazione 
non potrebbe avere altri fattori al denominatore che quelli di a, per la seconda che 
quelli di bh, e per la terza che quelli di c. Ora siccome a, b, c sono primi fra 
loro, k non potrà avere altro denominatore, che l’unità. 
Dalle equazioni (a) e (b), come pure dalla questione cristallografica, che inten- 
diamo risolvere nasce, che 
50 ya 0 xl2 y2 de xi ya 
Ta? ke? Ke? 6? Tp bh e ro ro Teo 
sono i coseni quadrati degli angoli fatti dalle rette [xyz], [xyz], [x"y"2"] con ì 
(') Un numero dicesi residuo quadratico di un altro, quando la differenza fra un quadrato el 
il primo numero è divisibile per il secondo. 
