— 140 — 
tre assi delle coordinate. Considerando successivamente i coseni degli angoli fatti da 
uno degli assi colle tre rette predette, sarà: 
Ora siccome a,b,c sono primi fra loro, k è intiero, ed i numeri a, b, c non 
contengono fattore quadrato, dovranno essere intieri i quozienti 
Xp Zia x y Zip x y Z 
aaa 
Da ciò e dalle equazioni (a) nasce che k è divisibile per a.b.c, e si potrà 
perciò sostituire con k'abc ove k' è numero intiero. 
Consideriamo una delle equazioni (c) sotto la forma 
(3) +0(3- T)+e(T -)=Kabe (e). 
Il secondo membro ed il terzo termine del primo sono divisibili per c: dovrà 
dunque essere divisibile per tale numero il binomio 
xa xe NE 
a{—-)})+b(=+- 
a Db 
Sia 0 un fattore primo qualsiasi contenuto in c: esso non sarà comune alle nove 
incognite X,Y,..... z'", le quali si ponno intendere scevre da ogni fattore comune. 
Supponiamo che 0 non divida per esempio x, esso non dividerà neppure w' perchè 
deve dividere il binomio sovrascritto. 
Si potrà quindi risolvere con numeri intieri rispetto a « e 8 l'equazione 
(=), 
ono (> (3) G Ja (a22-+) )}+2a(1- Jap. su 
ab 
9 
Ripetendo il ragionamento per ogni altro fattore primo contenuto in c, e quindi 
per ciascuno dei numeri a e Db, se ne conchiude, che, onde la soluzione sia possi- 
bile, debbono potersi trovare tre numeri intieri u'vt' tali da rendere intieri i quozienti 
au? +4b  bv?2+cec  ct*?+a 
c i a i b ; 
Che moltiplicati per a, b,c si ridurranno ai tre sopra indicati. 
È così dimostrato che le enunciate condizioni sono necessarie: resta a dimostrarsi, 
che esse sono sufficienti onde il problema ammetta sempre una soluzione. 
Supponiamo trovati tali numeri uv, ovvero gli altri uvt da cui si passa facil- 
Sa: ut+ab . 
intiero n risolvendo con due nu- 
Il primo membro è divisibile per 9, dovrà dunque essere intiero 
mente ai primi, poichè se per esempio è 
meri intieri r ed s l’equazione 
u=2a1r+ CS, 
2x2 «2 
RAT a?r2-4-ab Lat ar*-+b ; 
si avrà intiero anche a no quindi anche “n onde il valore u'=vr 
19 
a RL) i 
renderà "ragni intiero. 
