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Il metodo di Lagrangia (') per la risoluzione dell’ equazione 
x—By:=A2 
ci servirà a risolvere le equazioni (a) e (b), che si possono rappresentare con l’ unica 
seguente, dove x, , y sono tre quantità del tutto indeterminate 
k(ae2+-bf?-+-cy?) — (ext Bxt4- 70 + (ay + By+-yy)?+ (@e4+B2/+-72)? (A) 
Infatti onde l’equazione sia soddisfatta per qualunque valore di a, , y con- 
viene, che il secondo membro risulti identico al primo, e quindi, che siano soddisfatte 
le equazioni (a') ossia (a) e (b). 
Ammesso a<b<c, sia Di 
au ali To (ol 
ove p° è il massimo quadrato contenuto nel quoziente dato dal primo membro. Sia a' 
il massimo divisore comune ai due numeri ab e d, e poniamo ab=a/b', è=a'c. 
Facendo 
a=u'B+p, (f) 
otterremo 
Id 
cop (aal4+-b6*+-0y)=al(clB+ 7 A+ VAr+- A; 
e posto 
; au' 
ARI ih y= CY (g) 
ne trarremo 
odo? (aat4+-b e?+-0y) = a? + 874-172 (). 
Dalle (f), (g), (e) si ha 
au ; : 
BERETTA DEE pea—up; == 09 (i). 
L'equazione (e) ossia 
au? 4b=a/cc'p? (e) 
mostra, che a' non può avere alcun fattore comune con a, perchè se lo avesse, sarebbe 
contro la fatta ipotesi anche comune a b. Quindi essendo ab=a'b' sarà a' divi- 
sore di b ed allora per la (e') sarà eziandio un divisore di u'2, ed anzi di u' perchè a' 
non ha fattori quadrati. Adunque nelle (i) che esprimono le nuove indeterminate 
&,, B,, y, per mezzo delle primitive, tutti i coefficienti saranno intieri. 
La stessa equazione (e) dà intiero il quoziente 
12 qn2 pl 
au?-+b La drone certal i 
2 2 
Di più essendo intiero ii saranno pur tali Tree ed anche per le (e') 
12 +c CI ni b' 
Di dp PE SI i o). 
I e 
Sarà dunque intiero il quoziente Gatte , 
(') Legendre, Théorie des nombres. Paris 1808, pag. 35-42. Possono usarsi pel medesimo fine 
anche i metodi esposti da Gauss negli articoli 294 e 295 delle Disquisiliones Arithmeticae. 
