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OVE Cm (im: Ym Saranno espressioni composte con «3 ?, y come lo sono le espres- 
sioni contenute nel secondo membro della (d): i coefficienti di tali espressioni saranno 
numeri intieri, che si potranno prendere per valori di xx" .....z" ed il problema 
sarà risolto. 
I conoscitori della teorica delle forme quadratiche, leggendo attentamente 
l'art. 295 delle Disquisitiones Arithmeticae riconosceranno senza difficoltà che quando 
le condizioni sovra enunciate sono adempite è possibile di ridurre due de’ prodotti 
ab, ac, bc a due somme di tre quadrati interi 
{2-4 fia fra, g+g+g2, 
in modo che si abbia fo+fg'+f"o"—=0. 
Quindi se ciò non può farsi coi valori dati di a, b, c si dirà che il problema 
non è solubile; se può farsi, supposto per esempio 
ac=f24 f(2-4-fMl2, be=g*+ g'?4g"2, 
si avrà la soluzione seguente: 
x=ag, yY=ag,  z=ag, 
(bye ye= Dt, A=\9%, 
rile y'=f'e—- fg", 7 = fg — 
12. Riassumendo conchiudiamo : 
Se il prodotto di ciascun parametro per se stesso e per la proiezione sovra di 
esso di ogni altro parametro è in un dato sistema cristallino numero razionale: 
Ogni piano perpendicolare ad uno spigolo è faccia possibile ed ogni retta per- 
pendicolare ad una faccia è spigolo possibile. 
Il rapporto delle tangenti degli angoli fatti da faccie tautozonali è razionale. 
In ogni geminato nel quale sia asse di geminazione uno spigolo, o la perpen- 
dicolare ad una faccia, ogni faccia dell’un gemello sarà faccia possibile dell’altro 
gemello. 
Ogni sistema cristallino ad assi inclinati potrà derivarsi da assi ortogonali. 
Può assumersi per elissoide geometrico caratteristico della sostanza una sfera. 
Se ridotto il tipo cristallino ad assi ortogonali, esso acquista allora parametri, 
che siano radici di tre numeri intieri tali, che il prodotto negativo di due qualunque 
di essi sia residuo quadratico del terzo, il tipo eristallino si potrà derivare dal sistema 
monometrico. 
13. La proposizione dell’art. 3 data dal Neumann per i sistemi ortogonali 
e romboedrico, dai Kupffer pel sistema monoclino e per alcuni casi del triclino, venne 
esposta in tutta la sua generalità dal Naumann ('). 
Questi mostrò anzi sovra parecchi cristalli naturali monoclini e triclini, come 
le ipotesi geometriche sui parametri, da cui dipende la proposizione dell'art. 3, si 
trovino realmente soddisfatte. 
(') Naumann, Ueber die Rationalitàt der Tangenten-verhdlinisse lautozonaler Krystallfiachen. 
Abhandlungen der K. S&chsischen Gesellschaft der Wissenschaften, IV, 507. 
Ivi sono citati per le proposizioni da loro stabilite: Neumann, Beitràge zur Krystallonomie e 
Kuppfer Handbuch der rechnenden Krystallonomie; noi fumnio dolentissimi di non poterci finora pro- 
cacciare tali autori. 
