La teoria delle sviluppoidi 
e le superficie che hanno un sistema di linee di curvatura circolari. 
Memoria del prof. MICHELE GREMIGNI 
approvata per la stampa negli Atti dell’ Accademia 
nella seduta del 25 giugno 1882. 
INTRODUZIONE 
È noto come a Monge sia dovuta la teoria delle sviluppate d’una linea qual- 
sivoglia, piana o a doppia curvatura, delle linee cioè le cui tangenti incontrano una 
curva data ad angolo retto. 
Pel primo Lancret si propose la risoluzione d’ una questione più generale di 
quella risoluta da Monge; egli studiò infatti le linee le cui tangenti sono segate da 
una curva data sotto un angolo costante qualunque, e ciò fece in una Memoria in- 
serita nel tomo TI (Anno 1811) dell’ ultima serie delle memorie presentate all'Isti- 
tuto di Parigi. Le linee studiate da Lancret si chiamarono sviluppoidi ; per cui le 
sviluppate di Monge non sono altro che un caso particolare delle sviluppoidi. 
Molto tempo dopo, e precisamente nell’anno 1853, l'illustre professor Brioschi 
ritornava sull’argomento delle sviluppoidi, e in una Nota inserita negli Annali di 
scienze matematiche e fisiche di Tortolini dimostrava alcune proprietà generali di 
queste linee, ritrovando ancora le formole di Minich, di Molins e di Fuss; i quali 
avevan fatto precedenti studi sulle sviluppate delle linee piane, sferiche e a doppia 
curvatura. 
Il valentissimo professor Beltrami ebbe l’idea di dare alle sviluppoidi un signi- 
ficato più generale di quello attribuito loro da Lancret; egli chiamò infatti svilup- 
poidi d’una linea data (trajettoria) quelle curve le cui tangenti sono segate da questa 
secondo un angolo, funzione qualsivoglia delle coordinate del punto d’ intersezione. 
Nella sua Memoria pubblicata nel giornale di Tortolini del 1862, la quale porta per 
titolo Sulla teoria delle sviluppoidi e delle sviluppanti, egli, ammettendo che per 
una stessa funzione dell’angolo d’ intersezione suddetto si abbiano infinite sviluppoidi 
esistenti in una medesima superficie continua, dimostra dapprima il teorema gene- 
rale che, su questa superficie, esse sviluppoidi costituiscono sempre un sistema di 
geodetiche. Rende quindi noti altri importanti teoremi, e intorno alla ricerca effet- 
tiva delle sviluppoidi d’una linea data qualsivoglia osserva ch’essa dipende in ogni 
