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caso dall’ integrazione d’un’ equazione alle derivate ordinarie del primo ordine fra 
due variabili. Mostra dipoi il processo che si può in ogni caso tenere per giungere 
a quest’ equazione, e l’applica al caso in cui la linea che segale tangenti alle svi- 
luppoidi sia una curva piana. Si occupa infine del problema inverso, cioè della ri- 
cerca delle linee le quali tagliano sotto un angolo variabile con legge data, le tan. 
genti d’un'altra linea data, e di esso problema dà la soluzione analitica completa. 
Questi sono i principali punti storici sull’argomento che ho preso a soggetto 
del mio lavoro. È 
Io riprendo lo studio delle sviluppoidi secondo il concetto più generale dato dal 
prof. Beltrami, e fondandomi sulla proprietà che se sopra una sfera di raggio uno 
si costruiscono le indicatrici sferiche (secondo la denominazione di P. Serret) d’una 
stessa famiglia di sviluppoidi, esse indicatrici formano un doppio sistema di linee or- 
iogonali con un sistema di circonferenze minori della sfera, stabilisco immediata- 
mente l’equazione differenziale da cui dipende la ricerca effettiva delle sviluppoidi 
d’una linea data qualsivoglia. 
Trovo poi 1° elemento lineare della sfera riferito al doppio sistema di linee or- 
togonali sopra citato, e quello della superficie luogo geometrico d’una stessa famiglia 
di sviluppoidi riferito a queste medesime linee e alle curve di contatto de’ coni retti 
che inviluppano la superficie stessa, ed intanto stabilisco la formola generale che dà 
il raggio delle sviluppoidi in un punto qualunque delle medesime. Inoltre dimostro 
una proprietà delle trajettorie ortogonali delle sviluppoidi, e trovo ancora diverse 
formole tra cui quelle che danno gli elementi della sviluppoide in funzione delle 
quantità spettanti alla trajettoria data. 
Dopo di ciò mi rivolgo allo studio delle superficie che hanno per normali le 
tangenti ad una stessa famiglia di sviluppoidi, e dimostro che esse sono l’inviluppo 
d’una sfera moventesi col centro nella trajettoria data ed avente il raggio legato 
all’angolo che le tangenti alle sviluppoidi fanno colla traiettoria da una relazione 
semplicissima; di maniera che le sviluppoidi d’una linea qualsivoglia sono anche 
l’evolute delle linee di curvatura non circolari delle superficie ora definite. E reci- 
procamente, considerando le superficie inviluppo di sfere mobili col centro in una 
linea data e col raggio variabile secondo una data legge, trovo ch’esse hanno per 
evoluta la superficie inviluppo de’ conì retti aventi il vertice sulla linea data e 
gli assi diretti secondo le tangenti di questa. In cotal guisa lo studio delle svi- 
luppoidi viene ad essere collegato con quello delle superficie che hanno un sistema 
di linee di curvatura circolari; la qual cosa mi permette di dimostrare alcune nuove 
proprietà di queste e di quelle. Tutto ciò forma la prima. parte del mio lavoro, e 
comprende le proprietà ‘generali delle sviluppoidi. 
i Venendo alla seconda parte, dirò che in essa mi occupo di alcune ricerche 
particolari, e ritrovo dapprima le equazioni e le proprietà delle sviluppate d’ una 
linea a doppia curvatura; e allo stesso tempo dò pure l’equazioni e una forma del- 
l’elemento lineare delle superficie canali, e ne dimostro le loro proprietà. Passo poi 
allo studio delle sviluppoidi d’una linea piana, ed ottengo per via assai facile le 
stesse equazioni date dal prof. Beltrami; di più però aggiungo le equazioni in ter- 
mini finiti delle superficie che hanno un sistema di linee di curvatura circolari 
