O) 
coi centri in una linea piana, dalle quali si scorge che la ricerca di queste su- 
perficie dipende da una sola quadratura. Osservo poi, fondandomi ancora sui risul- 
tati del prof. Beltrami, che tra queste superficie quelle che sono inviluppo d'una 
sfera mobile col centro in una conica data, e di cui il raggio è una determinata 
funzione degli elementi di questa, godono della proprietà di avere per evolute delle 
superficie di second’ ordine, di cui la conica data è una delle coniche focali; di 
ciò porgo un esenipio trovando le equazioni della superficie, la di cui evoluta è 
un iperboloide di rotazione. 
Ricerco quindi le superficie che hanno didonie o a curvatura geodetica costante, 
oltre le linee del sistema circolare, anche le linee di curvatura dell’altro sistema, 
e trovo che ad esse, tra le altre, appartiene la superficie inviluppo d’una sfera mo- 
bile col centro in una spirale logaritmica, e avente in ogni posizione il raggio eguale 
al raggio vettore della spirale stessa. Di questa curva piana dò poi le equazioni delle 
sviluppoidi ordinarie, e ne dimostro diverse proprietà. 
In seguito passo alla ricerca delle sviluppoidi d’una linea a doppia curvatura 
qualsivoglia, supponendo però che l'angolo secondo cui questa sega le tangenti di 
quelle sia eguale all’angolo che le rette rettificanti della trajettoria fanno respetti- 
vamente colle tangenti della medesima, oppure il primo angolo sia maggiore o mi- 
nore del secondo, colla condizione però che le loro tangenti trigonometriche siano 
sempre proporzionali tra loro; e trovo che nel primo caso le coordinate delle svi- 
luppoidi dipendono dalle funzioni algebriche, nel secondo dalle funzioni iperboliche 
e nel terzo dalle funzioni circolari. Da ciò poi deduco come caso particolare le equa- 
zioni delle sviluppoidi ordinarie d’un’elica, e dimostro, tra le altre, questa notevole 
proprietà, che la superficie delle sviluppoidi ordinarie d’un’ elica circolare, è sempre 
applicabile sopra una superficie di rivoluzione. 
Dò quindi l’integrale generale in funzione d’ un integrale particolare dell’equazione 
trovata in principio, e da cui dipende, come ho detto, la ricerca delle sviluppoidi di 
una linea a doppia curvatura qualsivoglia, e quella delle superficie che hanno un 
sistema di linee di curvature circolari; e così riduco la risoluzione de’ due problemi 
alla ricerca di questo integrale particolare. 
Infine nella terza ed ultima parte, onde mostrare vieppiù l’importanza delle 
formole stabilite in principio, risolvo il problema inverso delle sviluppoidi, vale a 
dire determino le linee ché segano le tangenti d’una linea data secondo un angolo 
variabile con legge data. Di queste stesse linee ritrovo le proprietà già note, e ne 
aggiungo delle nuove. 
Questo è in breve ciò che io ho fatto; avrei potuto dare un maggiore sviluppo 
al mio lavoro, ma mi duole il confessare che me n’è mancato il tempo ed i mezzi. 
E di ciò si comprende subito la cagione, quando si pensi che debbo attendere al 
duplice insegnamento liceale e ginnasiale, e che disgraziatamente mi trovo in una città 
dove c'è mancanza assoluta di opere e di giornali di matematica vuoi antichi vuoi 
moderni. Nutro però fiducia che i resultati a cui son pervenuto non saranno trovati 
privi d’interesse. , 
