1. Chiamo col chiarissimo prof. Beltrami, come ho già detto nell’ introduzione, 
sviluppoide d’una linea (trajettoria), un’altra linea di cui le tangenti segano la prima 
secondo un angolo, funzione qualsivoglia delle coordinate del punto d’ intersezione; 
punti corrispondenti, il punto di contatto d’una tangente alla sviluppoide e il punto 
d’intersezione di essa colla trajettoria, e raggio della sviluppoide la porzione di tan- 
gente che unisce una coppia di-punti corrispondenti. Dipoi ammetto col sullodato 
professore che ad una medesima trajettoria, per una stessa funzione dell’angolo sotto 
cui essa è tagliata dalla tangente la sviluppoide, corrispondano infinite di queste 
linee giacenti sopra una superficie continua, che chiamo superficie luogo delle svi- 
luppoidi, 0, più brevemente, superficie delle sviluppoidi. | 
Ciò premesso, indico con a, d, c le coordinate rettangole d’un punto qualunque 
della trajettoria, e con o l’arco di essa, compreso fra un punto determinato e quello 
di coordinate a, d, ec; @, 8, Y5 s» 2, ; A, p, v gli angoli che la tangente, la nor- 
male principale e la binormale relative al punto (a, d, c) formano respettivamente: 
cogli assi. Denoto inoltre con X, Y, Z i coseni degli angoli fatti coi medesimi assi 
dalla tangente la sviluppoide nel punto corrispondente a quello di coordinate a, d, c 
e chiamo infine w l’angolo che la medesima tangente fa colla trajettoria. 
Voglio dapprima trovare le espressioni de’coseni X, Y, Z in funzione dell’angolo 
w e di altre quantità dipendenti dalla trajettoria data. 
Se si proietta la tangente alla sviluppoide sul piano normale della trajettoria 
passante pel punto (a, d, c), e si chiama e 1’ angolo che la proiezione fa colla nor- 
male principale contenuta nell’istesso piano, i coseni degli angoli formati da questa 
proiezione cogli assi sono dati dalle espressioni 
cos È cose + cos) sene, 
cos cose -+- cos sen E, 
cos G COSE + cos y Seng; 
e quindi i coseni richiesti sono evidentemente i seguenti: 
\ X = cos a cosw + (cos È cose + cos À sen e) sen w 
1) < Y=-cosf cosw+- (cos 4 cose + cos 1 sen e) sen ca 
| Z = cosycos® + (cos é cose + cos y sen e) sen w 
ove però rimane a determinare l’angolo e; ciò che faremo tra breve. 
2. Osserviamo intanto che se dal centro d’una sfera di raggio uno, la quale 
si può supporre situata col centro nell'origine degli assi, si tirano i raggi paralleli 
alle tangenti delle sviluppoidi, o, in altri termini, si costruiscono le indicatrici sfe- 
riche delle infinite sviluppoidi esistenti sopra la medesima superficie, è facile vedere, 
come ho già notato in un altro mio lavoro (V. Cronaca del Liceo Ginnasiale Gal- 
luppi di Catanzaro, anno scolastico 1878-79) che le indicatrici stesse formano un 
doppio sistema di linee ortogonali colle circonferenze minori, le quali hanno il cen- 
tro nell’indicatrice sferica della trajettoria, e per raggio sferico l’arco eguale all’an- 
golo @. i 
