do COS E 
seno—t{ —+ — )=0, 
do 
donde si ricava: 
sen® 
20 == 
) da COS E 
de p 
la quale ci dà il raggio della sviluppoide. 
Questa formola abbastanza semplice è la conseguenza d’una proprietà geome- 
trica che nel mio lavoro già citato (Cronaca del Liceo ecc. pag. 6) ho richiamato 
per dedurre l’espressione dell’ arco della trajettoria in funzione degli elementi spet- 
tanti alla sviluppoide. Nel caso particolare di @ costante, essa trasformasi in 
quest’ altra : 
20°) 
__ psen® 
cose 
la quale è stata data dal prof. Brioschi nelle sue Ricerche intorno le sviluppoidi 
e le sviluppate (V. Annali di scienze fisiche e matematiche, anno 1853). 
Raccogliendo ora le espressioni di E, F e G date dalle 17), 18), e 19) siamo 
in grado di scrivere l'elemento lineare della superficie delle sviluppoidi sotto la se- 
guente forma: 
21) df= ( 2) + (esna 7) du nali de cana) luz + cos a) do? 
ove t è dato dalla 20) ed e dalla 11). 
Da ciò vediamo che le linee v e c, cioè le sviluppoidi e le linee di contatto 
de’ conì retti che ne inviluppano la superficie non sono ortogonali tra loro, se non 
nel caso particolare che la £ sia funzione della sola 0; lo che potrebbe darsi, come 
si vede dalla 20), quando fosse -- = 0, cioè nel caso che la trajettoria si riducesse 
ad una linea retta. 
Si può però trovare facilmente il sistema delle oa ortogonali alle svi- 
luppoidi, cioè alle = cost. 
Poniamo infatti : 
dti 
22 — = (0080, 
) do 
ty essendo funzione della sola c, e facciamo : 
23) t+ty,= ta; 
prendendo allora per parametro variabile & in luogo di c, troviamo che la 21) si 
trasforma subito in quest’ altra: 
; ABITA piane 
24) dst=( tseno —— ) du? +- dt? 
du } 
la quale ci offre una conferma del teorema dimostrato dal Beltrami, che qui trascrivo: 
Qualunque sia la legge con cui varia da un punto all’ altro l'angolo sotto 
cui le tangenti d’una sviluppoide sono segate dalla trajettoria, ciascuna svilup- 
poide è una linea geodetica della superficie luogo geometrico di tutte le svilup- 
poidi generate colla medesima legge. 
