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curvatura. Si deve inoltre notare che i circoli o tagliano la superficie secondo l’an- 
golo @. 
11. Reciprocamente, si supponga una superficie che abbia un sistema di linee 
di curvatura circolari: essa, com’è noto, può riguardarsi come l’inviluppo d'una sfera 
mobile col centro sopra una determinata linea. Se si considerano le normali di que- 
sta superficie nei punti delle linee di curvatura circolari vediamo ch’esse formano 
de’coni retti, i quali inviluppano la superficie evoluta, luogo geometrico de’centri di 
curvatura principale relativi all’altro sistema di linee di curvatura. 
Ebbene io dico che gli assi di questi coni sono le tangenti della linea luogo 
dei loro vertici, che è pure il luogo de’centri delle sfere inviluppanti la superficie data. 
Invero, quando v è il parametro d’un sistema di linee di curvatura sopra una 
superficie qualsivoglia, ed ra è il raggio principale corrispondente, l'elemento lineare 
della superficie evoluta allorchè in essa si prendono per linee coordinate le corri- 
spondenti delle linee di curvatura della superficie evolvente, è 
do? = (FT) ae +2 Cra A du dv + 
1 2 
du dv di Gen () fa 
come già trovai nella mia tesi, presentata alla Scuola Normale Superiore di Pisa per 
l'esame d’abilitazione all'insegnamento (V. Annali della r. Scuola Normale Superiore 
di Pisa, anno 1878); nella qual formola « rappresenta il parametro del secondo sistema 
di linee di curvatura, G' è il coefficiente del dv? nell’elemento lineare della sfera sulla 
quale si fa la rappresentazione della superficie evolvente col metodo di Gauss, ed r1 
infine è l’altro raggio di curvatura principale. 
Supponiamo ora che rs sia funzione della sola v, cioè che la superficie che si 
considera sia l’inviluppo d’una sfera mobile, e poniamo rg=R, allora la formola 
soprascritta si cambierà come segue 
Dim L ORE 2 dB Ù 
da? = 5a” (R n+(F) 
la quale rappresenta l’arco elementare della linea luogo de’centri delle sfere invilup- 
panti la superficie considerata. Se poi per parametro v pigliamo l’arco stesso di questa 
linea, si avrà 
dv?, 
= ano IR 
VI—(G R—n) = d5 7 
Ora sia © l’angolo secondo cui i piani o tagliano' la superficie, la curvatura geo- 
detica de’cerchi o sulla sfera sarà eguale a cote (V. il mio lavoro negli Annali della 
r. Scuola Normale Superiore di Pisa, sopra citato); e per le formole del Dini (V. 
Memoria, Sopra alcuni punti della Teoria delle superficie, pag. 39, inserita negli Atti 
dell’Accademia de’ XL, serie 3°, tomo I, parte II) avremo 
dR 
CA CPAVA 7 
VGdo VOR) 
da questa e dalla precedente, si ricava 
coto= 
dR 
1_ I COS 0) 
de 
