Si trova pure per la superficie evoluta le equazioni che seguono: 
7 vceoto —vcotm 
cos? U, sen (@—v)e — sen? U, sen (@+v) e 
a=pf{cosv—seno 
a veoto A —vcoto 
cos* U1 e — sen? Ue 
A veoto È —vcoto 
cos? U1 cos(o—v)e + sen? U; cos (m+v)e 
y=p {senv—senw 
) veotò È —vcotw 
così Ue — sen? Ue 
sen? 2U1 sen? © 
Sir vcoto —vcoto 
cos? U, e — sen? U, e 
da cui eliminando U e v, si ottiene 
+2 72 
(0008 ©)? ci (sen) — 
che è OTO l'equazione d’un iperboloide di ‘rotazione. 
Si può dunque dire che: se una sfera si muove col centro sopra una circon- 
ferenza ed il suo raggio varia proporzionalmente all’arco di questa, inviluppa 
una superficie nella quale è piani del sistema di linee di curvatura circolari ta- 
gliano la superficie tutti sotto lo stesso angolo, e è centri di curvatura principale 
relativi all’altro sistema di linee di curvatura sono in un iperboloide di rotazione, 
nel quale al sistema di cerchi corrisponde un sistema di ‘iperbole, e all’altre linee 
di curvatura un sistema di geodetiche, che sono le sviluppoidi ordinarie della cir- 
conferenza direttrice. 
16. Le superficie 69) hanno, come abbiamo veduto un sistema di linee di cur- 
vatura circolari. Ora una linea di curvatura circolare ha sempre la curvatura geo- 
detica costante; ne segue che le superficie sopra menzionate hanno un sistema di 
linee di curvatura a curvatura geodetica costante, 0, secondo la denominazione di 
Hamilton, didonie. Cerchiamo fra le medesime quelle nelle quali anche il secondo 
sistema di linee di curvatura è formato di linee didonie. 
La curvatura geodetica delle linee w, nelle superficie 69, ha la seguente espressione 
JRE sene MO 
Ju sno [p(R92 + seno )+Reos:| 
2U el 
ess ———_ + _—._—_—_ Iii iIIEIEI,em@ItmeIgI9g9gt1gIeleelO 
O 
sen 10 (n +0) (14 U20%) + R(1—U20%)| 
Se vi poniamo la condizione che essa sia costante lungo le stesse «, o, in altri 
termini essa sia funzione della sola «, vuol dire che la sua derivata rispetto all’altro 
parametro o dovrà annullarsi, e perciò dovremo avere 
d 
2U el - È sen o(8 dg +smo)+R sen @+-U? e24Sosen a( RT +-sen a )-Rseno] la 
—2Ué1 Lie sen 2( Ri +50) HR sen) +-2U2 el - Qson (8% —-sen 0) _Rscn a+ 
d 
r 
+ te foseno (R-12 4 son 0)—Rse al | =) 
ULASSE DI SCIENZE FISICHE ecc, — MeMORIE — Von. XV% £ 
