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la quale sarà verificata tutte le volte che lo sia la seguente: 
d Ul 
coso R di smo) + Rose I Rsmno( 0-92 +1)-+psnto) 
da [) do 
dalla quale ne segue 
de Ra do 
Bpsen e cos @-72 + sent T 
MCRNcosio 
= (e sen 0) DÌ 
ed infine, derivando ed ii R per mezzo della 46), avremo 
r 
de n dp 
3psen G COS der -+- sen DE 
COS © TUR I) 
p P do 
Questa è la relazione che deve sussistere tra l’angolo © e il raggio di curva- 
tura della trajettoria, affinchè le superficie 69) abbiano le linee di curvatura de’ due 
sistemi didonie. Ponendovi @ costante, la stessa relazione si cangia così 
CON LT 
(02. )=cott0 
la quale evidentemente è soddisfatta prendendo ad esempio, 
dp _ 
de ®: 
cos ò== 
Ora quest’equazione definisce la spirale logaritmica, nella quale i raggi vettori 
fanno l'angolo costante @ colle corrispondenti tangenti alla curva (V. Serret, Cale. 
diff. pag. 363 e 364). Ponendo coto=m, sì ha: 
mM 
ee (10) 
VI+m? 
e questa relazione è la medesima di quella che lega l’arco della spirale al suo raggio 
vettore. Indicando questo con ©, si avrà dunque 
R=%@+ cot. 
Si può perciò enunciare il seguente teorema: 
Se una sfera si muove col centro sopra una spirale logaritmica, e în ogni posi- 
zione il suo raggio è eguale al raggio vettore corrispondente della curva o ne dif- 
ferisce d’una costante, la superficie inviluppo avrà le linee di curvatura didonie, 
e i piani del sistema circolare taglieranno tutti la superficie sotto lo stesso angoto 
costante, secondo cui è raggi vettori tagliano la spirale medesima. 
La ricerca delle superficie per le quali le linee di curvatura formano un doppio 
sistema di linee didonie fu fatta dapprima dal Bonnet, e poi con metodo più semplice 
dal Dini (v. Memoria, Sulle superficie che hanno un sistema di linee di curvatura 
sferiche). Questi dimostrò che tali superficie sono l’inviluppo d’una sfera variabile 
il cui centro percorre una curva piana e passa costantemente per due punti fissì reali 
o immaginarii (distinti o coincidenti) situati simmetricamente rispetto a questo piano. 
dR= 
