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e quelle della superficie evolvente sono invece: 
1—-mcosh Val (02) cosa 
| 1meosi{/ mi (k+4-u) | (c1-a)= —Rcoso 
— Rsen o| Vi sen Vl (kw) cos 23 cos h IV m?T1 (ku) ni cos .| 
| 1meosh/ Ti (kH4+-u) | (yy 0) = — Ros al 1—mcos h AT (ku) cos 
cos | 
| 1-meosh}V w=t (+) i] (z:-c) =—Rcos 0) i1-mcosh Win1 (+) cos Y 
90) 
— Rsen o| Vi sen i VW m1(k+%u) cos nt cos h VATI (Hu) —m 
—Rsen al Vi senh N MI (ku) cOS ci cos h i m_1 (k+v) nf cos » | 
nelle quali R— fcosordk, ed soddisfa alla relazione: 
coto> È. 
Riassumendo ora i risultati precedenti si può dire che le sviluppoidi d’una linea 
a doppia curvatura qualsivoglia dipendono dalle funzioni circolari, quando l’angolo 
sotto il quale le loro tangenti sono segate dalla trajettoria, essendo minore di quello 
che le rette rettificanti fanno colla trajettoria stessa, è tale però che la sua tangente 
trigonometrica è proporzionale alla tangente trigonometrica di questo ; dipendono in- 
vece dalle funzioni iperboliche, quando, conservandosi sempre la proporzionalità fra 
le tangenti trigonometriche de’ due angoli, il primo è maggiore del secondo; e quando 
in ultimo i due angoli sono eguali, le sviluppoidi sono date dalle funzioni algebriche. 
Lo stesso dicasi delle superficie evolventi. 
19. Se nella relazione 71) supponiamo costante, vediamo che diviene pure co- 
stante il rapporto della curvatura alla torsione della trajettoria, la quale è perciò 
un’ elica cilindrica. l 
Segue da ciò che le formole 77), 83), 89) contengono in sè l’equazioni delle 
sviluppoidi ordinarie d’un’ elica cilindrica, le quali si ottengono da quelle facendovi 
w costante. 
Se ora s’immagina che la trajettoria sia un'elica circolare ed © sia sempre co- 
? : ; de È È 
stante, allora, osservando che tanto il raggio # quanto la derivata Ta Sono in tutti 
e tre i casi sopra considerati funzioni della somma k-+ de’ parametri e che pure 
le derivate parziali di % si mantengono funzioni di questa medesima somma, l’elemento 
lineare 21) della superficie delle sviluppoidi espresso per mezzo de’ parametri & ed w 
avrà la seguente forma: 
ds? — E (ku) du?-+-2F (k-+u) dudk + G (k4-v) dk 
