III. Gli elementi di un gruppo del fascio (30) formano cogli ele- 
menti di A (che non variano col variare del gruppo) un sistema ci- 
clicamente proiettivo. 
Fra gruppi del fascio (30) vi sono il gruppo fondamentale f= 0 e il gruppo 
Q=0, epperò completiamo il teorema I dicendo : 
IV. Gli elementi di f e gli elementi di Q formano due sistemi 
ciclicamente proiettivi, i cui elementi fissi sono quelli di A. Gli ele- 
menti di f coi corrispondenti elementi di Q formano 2n+1 coppie ap- 
partenenti alla stessa involuzione, che ha per elementi doppî 
quelli di A. 
Chiamiamo corrispondente ad un elemento di f l’elemento di Q che rappresenta 
il centro armonico di 1° ordine di quell’elemento rispetto ai rimanenti di f. 
Ritorniamo al gruppo (33) e insieme ad esso consideriamo un altro gruppo cor- 
rispondente alla costante: 
Gli elementi £—49=30, é—b9=0, che appartengono a questi due gruppi, for- 
n 
mano cogli elementi di A un gruppo di 4 punti il cui rapporto anarmonico è — . 
i 
Scegliendo due altri elementi de’ due gruppi, il rapporto anarmonico viene solamente 
alterato di una (2n+1)“ radice dell’ unità, ma, stabilito l’ordine degli elementi di 
un gruppo, si possono ordinare gli elementi dell’altro in modo che il rapporto anar- 
monico resti inalterato, operando ‘uno stesso numero di permutazioni cicliche negli 
elementi dei due gruppi. 
Pertanto il fascio xf-+-AQ=0 si può scindere in 2n+-1 serie proiettive rappre- 
sentate dalle equazioni : 
elan=0} E=can=0 RNC E—ean=0; i 
gli elementi corrispondenti in queste serie sì ottengono coll’attribuire lo stesso va- 
lore alla costante @ nelle 2n-+-1 equazioni. Queste serie proiettive hanno comune 
una coppia di elementi, cioè gli elementi di A. Due gruppi del fascio sono messi in 
Qn+1 
relazione dalla costante (È) , che rappresenta la (2n+-1)“ potenza del rapporto 
anarmonico di due elementi qualunque presi nei due gruppi cogli elementi di A. Un 
valore particolare di questa costante è —1, con che il rapporto anarmonico diviene —1, 
OVV. — €, .... OVV. — e". Diremo per brevità che in questo caso i due gruppi sono 
armonici. Per trovare il gruppo (x’, X) armonico ad un gruppo dato (x, }) basta scri- 
vere l'equazione : 3 
