OVVEero : 
I R [ES CPSI Tp R i 
+ 50, DIE RALE 
Dunque il gruppo armonico al gruppo xf+#-)Q==0 è dato dall’ equazione : 
R 
xQ 2 O \ff=0 . 
Osserviamo intanto che il 1° membro di questa equazione è Qx) e, per la re- 
ciprocità delle forme xf+1Q e Qx., si conchiude che la relazione fra due gruppi 
armonici è reciproca, e si ha il teorema: 
V.Idue gruppi xf+AQ=0 e Qn=0 sono armonici e sono i soli 
gruppi armonici. 
In questo paragrafo abbiam sempre supposto R=(AA')* = 0. Supponiamo ora 
R=0; allora non ha più luogo la formula (2) e tutte le altre conseguenze delia 
stessa formula. In questo caso i due elementi di A coincidono in un solo €, e con- 
tinuando a supporre (aA)?a,?-!= 0, si avrà: 
A = dg Et (2n+4+-1) ax €29 +... + 09,491, 
(dA) a, — ay 14 (2n—1) ag €29 +. + don = 0, 
epperòd:” a, =adg =... = Ag, = 0, 
f=t22 (at+@n+1)cm) . (35) 
D'altra parte formando il covariante A da (35) trovasi : 
A=— 2a, per n=1, 
A=Z0 > Slc 
Reciprocamente, se f ha una radice di multiplicità 2n (n>1), si annulla identi- 
camente A, (aA)? @,”71 ed R. Si ha dunque il teorema: 
VI. Le condizioni necessarie e sufficienti perchè una forma di 
ordine 2n+1 ammetta una radice (2n)" sono date dall’annullarsi 
identicamente del covariante (a4)?a,®7! e dell’invariante (AA')?, in cui 
0 = 
$ 2. forme di ordine pari. 
Indichiamo simbolicamente con : 
[E ZIEZ dd 0 (1) 
una forma binaria di grado pari, e con: : 
H= (ab)? a,2b, (2) 
la (n—2)" sovrapposizione della forma f sopra sè stessa. Le forme che costitui- 
scono la 2° classe sono definite col porre identicamente uguali a zero i due covarianti: 
(aH) a,”-=3H,=0, (aH)fa,®75=0. (3) 
Dalla teoria delle forme biquadratiche e sestiche si sa, che la 1% delle iden- 
tità (3) si verifica per la forma biquadratica e sestica generale (*), mentre la 2° 
delle identità (3) ha luogo per la forma biquadratica armonica. 
(') Cfr. Clebsch, op. cit. pag. 374. 
(@) Vedi Clebsch, op. cit. pag, 136 e 284. 
