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È a: e quelli delle linee (2-+-+ 1)" e (2 -+/+1)"® moltiplicati per 
= us e per > 2 si riconosce che le linee di (M), diventano semplice- 
mente del tipo 
|Xij3 09 51)x 069/520: 
e quindi moltiplicando poi la prima colonna per 0 e sopprimendo il fattore o co- 
mune a tutte le linee, si torna esattamente alla matrice E primitiva; con ciò il 
teorema è dimostrato. 
Dallo stesso procedimento della dimostrazione si riconosce che sono invarianti 
anche le caratteristiche delle altre matrici 
E=M4+(M)+{M} , E.=M4+(M), , E=M+#+{M}. 
Ricordando che la matrice E conserva anche la stessa caretteristica operando 
una qualunque trasformazione di variabili, ne risulta che se X©=0,T©=0 sorzo 
due EQUAZIONI ai differenziali totali di ordine r, EQUIVALENTI (cioè che con una 
trasformazione di variabili dall'una equazione si passa all'altra, senza che ciò includa 
necessariamente l'equivalenza delle due forme X®,T®) /e caratteristiche delle 
matrici & (e lo stesso potrebbe dirsi delle altre matrici suaccennate) relative alle 
due equazioni, sono eguali. 
Consideriamo ora la matrice D ottenuta da E sopprimendo la prima linea M. 
La sua caratteristica / sarà evidentemente eguale o minore di una unità di quella 
l di E. 
Quali cangiamenti subisce la caratteristica di D, moltiplicando la forma per 
un fattore? Sieno %", i rispettivamente le caratteristiche delle E e D relative alla 
CX = TM. 
Essendo X/=%, e Xi eguale a %' ovvero a %'—1, si ha che /{ sarà eguale 
a k ovvero a X —1; ma X è eguale a 4%, ovvero a X,1-+ 1, onde abbiamo che, se 
k=}, allora Xi sarà eguale a %, ovvero a X1 — 1, e se invece X=%:+ 1, allora 
li sarà eguale a X,1-+ 1 ovvero a %,, cioè possiamo dire che: 
Se le matrici D e E primitive aveano la stessa caratteristica, allora la 
caratteristica di D dopo il mutamento della forma X®, o resta inalterata 0 si 
diminuisce di un'unità; se invece D ed E aveano caratteristiche diverse, allora 
quella di D o resta inalterata 0 si aumenta di un'unità. 
Assai facilmente possiamo ora esaminare il comportarsi di altre matrici del pa- 
ragrafo precedente, quando il cangiamento che si dà alla forma fondamentale non è, 
come sopra, quello di moltiplicarla per un fattore, ma è l'aggiunzione di un diffe- 
renziale 7° esatto. 
