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L'applicazione di una trasformazione infinitesima ad una forma differen- 
ziale lineare di ordine r, dà luogo ad una forma differenziale anche lineare 
nei d, e di ordine r, cioè del medesimo tipo di quella su cui si opera. 
Servendosi poi delle (107) possiamo scrivere la (118) come segue: 
A EXM=d'A+LO—-V®, per 7 dispari 
( ) = d'Ad + LA Cali VO A 20M pont: pari 
intendendo naturalmente che le V, che sono quelle del $ 17, non sieno formate 
direttamente mediante le X, ma mediante le C date da (119), essendo poi queste 
a loro volta costruite mediante le X; perciò anche la X‘ della formola (107) ha 
dovuto mutarsi in C. 
Seguendo la stessa via da noi tracciata, sarebbe agevole estendere questi risul- 
tati alle forme differenziali non più lineari ma di grado %; ma ci basti per ora 
quanto abbiamo esposto. 
$ 28. 
Trasformazioni infinitesime che appartengono a una forma o a una equazione ai 
differenziali totali di ordine r. 
dn 
Diremo che una trasformazione infinitesima £ appartiene ad una equazione 
X® = 0, ovvero che /ascza invariata questa equazione, ovvero che questa ammette 
quella trasformazione infinitesima, quando si ha identicamente 
(121) EX©=uX®; 
se poi si ha anche w=0, allora diremo che la £ appartiene anche alla forma X. 
Ricerchiamo le condizioni cui devono soddisfare le È perchè questo avvenga. 
Combinando le (120) e (121) si ha: 
(122) LO — XS — d'A + VO + [1 - (— 19,4] CM 
(raccogliendo così i due casi di 7 pari e di 7 dispari) e paragonando i coefficienti 
delle medesime d al primo e secondo membro si hanno le equazioni: 
VA 
dg, ui 
Da 
SF V4,:::9,00) - [1 "iù (= 1)] Cg,-:9, 
PD LA1 ni 
mi eg da 
+ Vac, TLL 4 (- 1] 09,9, 
CRE 
(4 
(123) 
SI {Gre Gra 3 è} fi = MX gg 
DI rl 
