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mentre le equazioni a derivate parziali cui deve soddisfare l’invariante 4, si ridu- 
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(132) 0=© Di > (69,197 + da, 9) TEMRSRai DI (7 9, ig co dg ) 
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le $ dovendo sempre soddisfare a tutte le (128), se deve essere w diverso da zero. 
Se poi deve essere u= 0, cioè se la £ deve lasciare invariata non l'equazione 
X© =0 ma /a forma X®©, allora le $ devono soddisfare alle sole seconde delle 
(128). 
Se 4 deve essere costante diverso da zero, bisogna che $è = 0 sia una conse- 
guenza delle (128); ora, indicando per brevità con E,,, la matrice ottenuta da E 
sopprimendo la prima colonna, con E,,o quella ottenuta sopprimendo invece la prima 
linea, e con E,,, quella ottenuta sopprimendo la prima linea e la prima colonna, perchè 
la equazione éj= 0 sia una; conseguenza di tutte le (128), è necessario e basta che 
E e E, z0r abbiano la stessa caratteristica; e perchè invece &j="0 sia una con- 
seguenza delle (128), meno la prima, è necessario e basta che E,, ed E,, non 
abbiano la stessa caratteristica. Onde abbiamo: 
Perchè esista una trasformazione infinitesima che lasci invariata l'equa- 
zione XP = 0 (ovvero la forma X®°) e per la quale sia il covariante Cv = 0, 
mentre A non sia costante, è necessario e basta che esista una soluzione comune A 
di tutte le equazioni a derivate parziali (132), î cui coefficienti È rappresentino 
tutti i possibili sistemi di soluzione delle equazioni lineari (128) (ovvero rispet- 
tivamente delle (128) esclusa la prima). 
Se poi deve essere CT-V =0 e A= cost. ma diversa da zero, allora per la 
esistenza della indicata trasformazione, è necessario e basta che E ed E, non 
abbiano la stessa caratteristica (ovvero, nell’altro caso, che non l'abbiano Ei 
ed E,,1). Ciò porta intanto che E,,o (ovvero E,,;) sia zero, non potendo E avere 
caratteristica maggiore di n +1 e quindi dovendo E, avere al più caratteri- 
stica equale ad n. 
Facilmente possiamo ora stabilire il teorema per il caso in cui sia COD = A4=0; 
caso che è specialmente per noi interessante perchè sono le trasformazioni infinite- 
sime a tal caso relative, che si presentano per la soluzione del problema di riduzione 
di Pfaff. In tal caso le equazioni cui devono soddisfare le €, ,... £, sono tutte omo- 
genee (formola (126)) e quindi, perchè esista una soluzione delle equazioni (126) è 
necessario e basta che la matrice E sia zero. Onde: 
Condizione necessaria e sufficiente perchè esista una trasformazione infini- 
lesima che lasci invariata l'equazione X = 0 e per cui sieno zero il covariante 
CID è l’invariante A è che sia zero la matrice E. Nel caso în cui invece della 
equazione XP =0, si tratti della forma X®° (cioè quando si voglia u=0) alla 
matrice E bisogna sostituire la matrice Bo, - 
Osserviamo che per una trasformazione infinitesima della specie ultimamente 
indicata, il covariante simultaneo L® sarà eguale a #wX®, come risulta dalla for- 
mola (120). 
