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D'altra parte supponiamo che esista una trasformazione delle x nelle y per cui 
la Y® acquisti la forma (142). Formando la trasformazione infinitesima 
d 
(143) Y=%wMn np 
e osservando che, essendo soddisfatte le (139), sussisteranno le (188), si riconosce 
che il covariante CY7” e l’invariante 4 sono zero. Inoltre sussistendo (141) sussi- 
sterà (140), e quindi la detta trasformazione infinitesima lascia invariata l'equazione 
Y® =0. Essendo invariantive tutte queste proprietà: ne risulta che la trasformata 
nelle x della (143) avrà in rapporto a X le medesime proprietà, e resta quindi 
dimostrato che ogni trasformazione che risolve il problema corrisponde a una £ 
avente le proprietà indicate. Abbiamo dunque dimostrato che per la riducibilità di 
‘X©—=0 in una equazione T® = 0 con una variabile di meno, occorre che la ma- 
trice E abbia caratteristica minore di x + 1. 
Riapplicando ora il medesimo teorema alla equazione T® = 0 possiamo cercare 
la condizione perchè sia possibile la riduzione di un'altra variabile. Osserviamo che, 
per un teorema del $ 21, differendo la Y® da T° solo per un fattore, la matrice E 
relativa a Y® ha la stessa caratteristica di quella relativa a T®; ed essendo poi 
la E a caratteristica invariante ($ 20), tale caratteristica sarà sempre v che è la 
caratteristica della E relativa a X. 
Onde se è v< x, osservando che la matrice E relativa a T® ha solo » (e non 
n-+ 1) colonne (perchè manca di quella colonna che corrisponde all'indice x), sì 
deduce che anche la E di T® è zero, e quindi su T° può operarsi una trasforma- 
zione analoga a quella operata su X e ottenere così una equazione U® —=0 con 
sole n —2 variabili. Così seguitando abbiamo infine questo semplice risultato come 
soluzione del problema generale di riduzione: 
La possibilità della riduzione della equazione X=0 in una con un 
minor numero di variabili, dipende dalla caratteristica della matrice E che ha 
n-+1 colonne. Se tale caratteristica è v<n+41 possiamo sempre ridurre di 
nH41—» unità il numero delle variabili e cioè ridurci a un'equazione con sole 
v_—1 variabili, e non possiamo fare in alcun modo ulteriore riduzione. 
Possiamo completare queste considerazioni con quelle riguardanti la trasforma- 
zione della forma X in una contenente una o più variabili di meno; cioè si voglia 
supporre g= 1 nel problema enunciato sul principio di questo paragrafo. 
Operando la trasformazione infinitesima 
d 
Vi= UD VA 
e“Yn 
su XY? IN gi mo 
In de TM 3 
dYn 
che, per effetto di (140), deve essere uguale a 
of = C1OXIN Î 
