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avremo una forma differenziale di ordine > rs=r e di grado k: 
s=l 
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(cer) \ Rie \ > RIV) AA A) 
(32) X LI ZAN VERA ; ince.ip CRI 000 9 5009 
in cui i coefficienti X;,...jm;«+;iri Siono caratterizzate da % gruppi di indici, come 
quelli di (31) lo erano da un sol gruppo di indici. 
Per maggiore generalità potrebbe nella (32) supporsi che i varî d debbano com- 
porsi con differenziali di natura diversa, e cioè il primo con dei d,, il secondo con 
dei d,, ecc. Per 7,=--=7x=1 la (32) diventa allora una forma multilineare. 
Se nella (31) ad ogni d immaginiamo sostituito il suo valore, avremo una 
somma di termini di cui ognuno è il prodotto di una funzione X, per un prodotto 
di differenziali delle x combinati sempre in modo che per ogni termine la somma 
degli indici superiori sia costante ed eguale ad 7. Ma la (31) non è evidentemente 
una qualsiasi espressione di tal tipo ma sibbene una speciale, giacchè in una qual- 
siasi espressione i coefficienti potrebbero supporsi variabili da termine a termine, e 
invece nella (31) passando da un d ad un altro si suppone in generale un coeffi- 
ciente diverso, ma tutti i termini differenziali dei quali si compone un medesimo d 
(che per 7 >3 è generalmente una espressione p0/7z0mza) vengono ad avere lo 
stesso coefficiente X,,...;m- 
La specialità della X©° rispetto a tutte le altre combinazioni di differenziali 
dello stesso ordine che potrebbero costruirsi, è però una specialità invariantiva, e 
cioè la X è di tipo avente carattere invariantivo rispetto a ogni trasformazione 
di variabili. Daf 
Ciò risulta immediatamente dalla proprietà di trasformazione delle d di cui ab- 
biamo trattato nel $ 11. 
Poichè per una trasformazione di variabili le d si trasformano linearmente, è 
evidente che la X® resta dello stesso tipo, e inoltre anche le X©:°**"% conservano 
dopo la trasformazione il loro tipo originario. 
Colla formola (30) possiamo pertanto trovare facilmente la formola per i coeffi- 
cienti trasformati, sia per la X che per la X*"2°. Giacchè, sostituendo nelle (31) 
(32) il valore di d dato dal secondo membro di (30), e osservando che 
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83) PE DI Se as Lal 
