La teoria delle forme differenziali di ordine e grado qualunque. 
Memoria del Corrispondente ERNESTO PASCAL. 
Presentata nelle ferie accademiche del 1909 
Parva domus, sed mea. 
Alcuni anni fa attrasse in modo speciale la mia attenzione il fatto che, mentre 
nel corso del secolo si erano succedute numerose ricerche su due tipi specialissimi, 
e i più semplici, di forme differenziali, e cioè su quelle di 1° ordine e di 1° grado 
(forme pfaffiane), e su quelle di 1° ordine e di 2° grado (forme differenziali quadra- 
tiche), i problemi relativi alle forme superiori non erano stati quasi neanche posti, e 
neanche era stato approfondito lo studio di quelle formole di calcolo che dello studio 
delle forme differenziali superiori devono essere il naturale fondamento. 
Eppure la teoria delle forme pfaffiane, che può dirsi cominciata da Pfaff sin 
dal 1815 e proseguita indi principalmente da Jacobi, Grassmann, Clebsch, Frobe- 
nius, Lie, Mayer, Engel, Ed. von Weber, e quella delle forme differenziali quadra- 
tiche coi lavori di Riemann, Christoffel, Lipschitz, Beltrami, Bianchi, Ricci, ecc., erano 
due teorie che presentavano una serie di problemi la cui estensione non potea non 
eccitare fortemente la curiosità dei matematici; e questi problemi, quali per esempio 
quello di riduzione del numero delle variabili, quello della riducibilità a tipi spe- 
ciali, quello dell’equivalenza, quello della costruzione dei covarianti e invarianti delle 
forme stesse, quello della invariabilità delle forme per trasformazioni infinitesime, ece., 
erano tali, per la loro difficoltà e per la loro portata, da potere bene costituire nel 
loro complesso un corpo di dottrina a sè, un nuovo capitolo dell'Analisi. 
Ma a capo di tutti questi problemi ne stava uno che era di tutti gli altri la 
necessaria preparazione, e cioè /a costruzione e lo studio di quelle formazioni che, 
per le forme differenziali generali, devono essere ciò che sono, p. es. i simboli di 
Christoffel per le forme differenziali quadratiche; questo era pertanto il problema 
che bisognava, prima d'ogni altro, affrontare e risolvere, e perciò le mie ricerche 
cominciarono da questo punto. 
Ebbi la fortuna di raggiungere la soluzione completa e semplice della quistione, 
e di poter costruire queste formazioni fondamentali, colle quali tutta la teoria era 
messa sulla sua strada maestra. 
