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che il determinante delle 4 
| Ze | 
deve essere certamente diverso da zero. 
Eguagliando i coefficienti dei differenziali 7” delle variabili al primo e secondo 
membro abbiamo 
Mm 
d 
Xi = Si des i 
i=1 
(159) 
\ è 
AG) i dis n, 
| = n 
donde deduciamo che la matrice delle Xxsy(h=1,2,..n;s=1,2,..#) è eguale 
al prodotto del determinante delle 4, per la matrice funzionale delle @; ... pm rispetto 
allea tetzne 
dp 
I Xi | ==; | dis | IXh 
Se le forme X date sono linearmente indipendenti, senza però che lo sieno i 
loro covarianti evidenti di 1° ordine, cioè precisamente quelle forme di 1° ordine i 
cui coefficienti sono le Xx), essendo allora zero la matrice del primo membro, e 
diverso da zero il determinante delle 4, sarà zero la matrice funzionale delle @, 
cioè le @ non saranno indipendenti. 
Dunque la definizione della completa integrabilità secondo la formola (158), 
per il caso di r > 1, cioè per le forme di ordine superiore al primo, non porta 
con sè la indipendenza delle funzioni . 
Tale indipendenza però si deduce se si ammette la indipendenza lineare dei 
covarianti evidenti di 1° ordine delle forme date. 
Onde per le forme di 1° ordine, tale indipendenza è una conseguenza della in- 
dipendenza /izeare delle date forme. 
Cosiecchè se poniamo come condizione la indipendenza delle 4, veniamo, per 
r>1, a dare una definizione della completa integrabilità più ristretta di quella che 
possiamo dare; ci conviene pertanto assumere la definizione più generale. 
Formiamo il sistema aggiunto al dato, sappiamo che esso conterrà un certo 
numero di equazioni a derivate parziali di 1° ordine i cui primi membri sono i co- 
siddetti simboli delle trasformazioni infinitesime del sistema aggiunto (v. $ preced.). 
Tali simboli sono 
(160) 
ly 
n 
df 
lf = Di $k dI , 
